Equação diferencial prova de identidade

Professor André C.

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Para provar que a função y é uma solução da equação diferencial y^2 - x^2 - xy = C, onde C é uma constante, e que a função y satisfaz a equação (x - 2y)y' + 2x + y = 0, podemos seguir os seguintes passos:

Passo 1: Substituir y na equação diferencial e verificar se a identidade é válida.

Começamos substituindo y na equação diferencial: y^2 - x^2 - xy = C

Passo 2: Derivar a função y em relação a x para encontrar y'.

Derivando y em relação a x, obtemos: y' = (dy/dx)

Passo 3: Substituir y' na equação diferencial.

Substituindo y' na equação diferencial, temos: (x - 2y)(dy/dx) + 2x + y = 0

Passo 4: Simplificar e rearranjar a equação.

Expandindo o primeiro termo e rearranjando a equação, temos: xdy/dx - 2ydy/dx + 2x + y = 0 xdy/dx - 2ydy/dx + y + 2x = 0

Passo 5: Agrupar os termos contendo dy/dx e fatorar.

Agrupando os termos contendo dy/dx, temos: (dy/dx)(x - 2y) = -(y + 2x)

Passo 6: Dividir ambos os lados por (x - 2y).

(dy/dx) = -(y + 2x) / (x - 2y)

Passo 7: Simplificar a expressão.

Simplificando a expressão, temos: (dy/dx) = -1

Passo 8: Integrar ambos os lados em relação a x.

Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos: ?(dy/dx) dx = ?(-1) dx ?dy = -?dx y = -x + K

Onde K é uma constante de integração.

Passo 9: Substituir a solução encontrada na equação original.

Substituindo y = -x + K na equação original, temos: (-x + K)^2 - x^2 - x(-x + K) = C x^2 - 2Kx + K^2 - x^2 + x^2 - Kx = C -2Kx - K^2 = C

Passo 10: Simplificar a expressão.

Simplificando a expressão, temos: -2Kx = C + K^2

Portanto, provamos que a função y = -x + K é uma solução da equação diferencial y^2 - x^2 - xy = C e que a função y = -x + K também satisfaz a equação (x - 2y)y' + 2x + y = 0, onde K é uma constante.

Professor Vinícius W.

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Respondeu há 11 meses

Para provar que y é a solução da equação diferencial y^2 - x^2 - xy = C e da equação diferencial (x - 2y)y' + 2x + y = 0, podemos substituir y na segunda equação pela primeira equação e mostrar que a igualdade é satisfeita.

A primeira equação diferencial é:

y^2 - x^2 - xy = C

A segunda equação diferencial é:

(x - 2y)y' + 2x + y = 0

Substituindo y^2 - x^2 - xy = C na segunda equação:

(x - 2y)y' + 2x + y = 0 (x - 2y)y' + 2x + y = (x - 2y)(-2y - x) + 2x + y = 0

Expandindo e simplificando:

-2xy - x^2 + 4y^2 + 2xy + 2xy - 2y^2 + 2x + y = 0

• x^2 + 2xy - 2y^2 + 2x + y = 0

Agora, podemos ver que essa equação é igual à primeira equação diferencial:

y^2 - x^2 - xy = C

Portanto, se y é uma solução da primeira equação diferencial, então também é uma solução da segunda equação diferencial.