Equivale a quantos pi?

O volume do sólido interno à esfera x2 + y2+ z2 = 4z e acima do cone x2 + y2 = z2 é igual a

Solução.

Note que

x² + y²+ z² = 4z
x² + y²+ z² - 4z = 0
x² + y²+ z² - 4z + 4 = 4
x² + y²+(z-2)² = 4

é uma esfera de centro C = (0,0,2) e raio r = 2, logo a esfera está acima de z = 0.

Além disso, o sólido contido no interior da esfera anterior e acima do cone x² + y² = z² é a semiesfera devido a que:

x² + y² + z² = 4z ;  x² + y² = z²
z² + z² = 4z
2z² = 4z
z² - 2z = 0
z(z - 2) = 0
Logo z = 0 (vértice do cone) e z = 2 (o plano que contêm o centro da esfera).

Finalmente, o volume do sólido contido no interior dda esfera e acima do cone é:

V = 1/2 ( 4pi/3) r³
V = (2 pi/3) (2)³
V = (16 pi)/3

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