Estratégia para encontrar ponto de intersecção em curva parametrizada

Olá Grabriel:

Como material de apoio veja os links [1,2]. Ambos contém explicações detalhadas e imagens para auxiliar no entendimento.

Para saber se a curva se auto-intercepta, devem haver parâmetros t1 e t2, com t1 < t2, tais que x(t1) = x(t2) e y(t1) = y(t2).

Observe que isso mostra que para o valores distintos do parâmetro as coordenadas x(t) e y(t) se repetem.

Há exemplos numéricos em [1,2]

Sobre o significado de dy/dt e dx/dt.

dx/dt mede a variação da curva ao longo do eixo x em relação ao parâmetro t. Analogamente para y.

Repare que se dx/dt = 0 para algum t = t0, então a variação ao longo de x quanto t = t0 é nula, logo a reta tangente à curva será paralela ao eixo y (reta vertical).

Analogamente, se dy/dt = 0 para algum t = t0, ..., a reta tangente à curva será paralela ao eixo x (reta horizontal).

=== Links
[1] http://www.mat.ufba.br/mat042/aula15/aula15.htm 

[2] https://twiki.ufba.br/twiki/pub/CalculoB/NotasDeAula/parametricas.pdf