Eu sei que a derivada de primeira ordem é a velocidade e a de segunda ordem é a aceleração

Para compreender como desenvolver derivadas de primeira e segunda ordem, vamos revisar os conceitos básicos de derivação no cálculo.

Derivada de Primeira Ordem (Velocidade)

Dada uma função $f(x)$ que representa a posição de um objeto em relação ao tempo $t$, a derivada de primeira ordem $f^{\prime }(x)$ nos dá a velocidade do objeto. Esta derivada nos diz como a posição do objeto está mudando ao longo do tempo.

Para encontrar a derivada de primeira ordem de uma função $f(x)$, você pode usar as regras básicas de derivação, como:

• A regra da potência: Se $f(x)=x^n$, então $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$.
• A regra da soma: A derivada da soma de funções é a soma das derivadas.
• A regra do produto: Se $f(x)=u(x)·v(x)$, então $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)·v(x)+u(x)·v^{\prime }(x)$.
• A regra do quociente: Se $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, então $f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)·v(x)-u(x)·v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2}$.
• A regra da cadeia: Se $f(g(x))$, então a derivada é $f^{\prime }(g(x))·g^{\prime }(x)$.

Derivada de Segunda Ordem (Aceleração)

A derivada de segunda ordem $f^{″}(x)$ é a derivada da primeira derivada $f^{\prime }(x)$. Esta derivada nos fornece a aceleração do objeto, ou seja, como a velocidade do objeto está mudando ao longo do tempo.

Para encontrar $f^{″}(x)$, basta aplicar as regras de derivação novamente à função $f^{\prime }(x)$.

Exemplo Prático

Se temos uma função de posição como $f(t)=3t^2+2t+1$, calculemos a velocidade e a aceleração:

1. Primeira Derivada (Velocidade):
   $$f^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}(3t^2+2t+1)=6t+2$$

2. Segunda Derivada (Aceleração):
   $$f^{″}(t)=\frac{d}{dt}(6t+2)=6$$

Portanto, a velocidade é dada por $6t+2$ e a aceleração constante é 6.

Esses conceitos são fundamentais no cálculo e nas aplicações físicas, permitindo-nos entender como as quantidades estão mudando ao longo do tempo em sistemas dinâmicos.