Um pescador está a 2 km de um ponto A de uma praia e deseja alcançar um depósito de combustível no ponto B, a 3 km de A. Sua velocidade na água é de 5 km por hora e na terra é de 13 km por hora. Determine o ponto da praia que deve ser alcançado pelo pescador para chegar ao depósito no tempo mínimo.
Supondo que o ponto B esteja na água (o que não é dito explicitamente no problema), temos que ele vai percorrer uma distância x ao longo da praia até um ponto P, e depois em diagonal de P a B. Neste último trajeto, PB será a hipotenusa de um triângulo retângulo com cateto (2-x) ao longo da praia e 3 na direção perpendicular à praia (infelizmente não há como por figuras aqui). Por Pitágoras, este deslocamento será
No trajeto ao longo da praia, sua velocidade é 13 km/h, então o tempo gasto será d/v ou x/13
No trajeto em diagonal, pela água, sua velocidade é 5 km/h, então o tempo gasto será d/v ou
O tempo total será
Para achar o tempo mínimo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Chamando 2-x=z (para facilitar a conta, e elevando ao quadrado
(ignoramos o z negativo, pois não faz sentido no problema
2-x=5/4
x=3/4
Para verificarmos que este ponto corresponde a um mínimo, usamos pontos de teste na derivada
em x=0:
,
que é negativo (função t decrescente)
em x=2:
que é positivo (função t decresce). Portanto, o ponto x=3/4 km é um ponto de mínimo.
Aulas particulares
