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Hebert há 5 anos
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Exercícios equações diferenciais ordinárias - edo

1. Determine a solução da equação diferencial de 2ª ordem y'' + 5y' + 6y = e^-x, com y(0) = 0 e y(0) = 0.

 

2. Resolva o sistema de equações diferenciais a seguir:
{ x'= 2y + 4y
{ y' = -x + 6y?
com x(0) = -1 e y(0) = 6

 

3. Sendo v=dx/dt determine a relação entre v e x na equação x'' + x^3 = 0, sendo x(0) = 1 e y(0) = 2.

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Prezado! Seria mais interessante para ambas as partes (professor - aluno) se você solicitar a resolução dessa pequena lista em "Tarefas". Daí então poderemos ajudá-lo de maneira eficiente. 

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Professor David C.
Respondeu há 5 anos
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1. Determine a solução da equação diferencial de 2ª ordem

y''+5y'+6y=e^{-x}

com y(0) = 0 e y'(0) = 0.

Solução.

  • Equação homogênea:

y''+5y'+6y=0

Escrevemos sua equação característica:

m^2+5m+6=(m+2)(m+3)=0

cujas solução é:

m_{1}=-3,\, m_2=-2

Logo a solução da EDO homogênea é:

y_1(x) = C_1 e^{-3x}+C_2e^{-2x}

 

  • Solução particular:

y_2(x) = (Ax^2+Bx+C)e^{-x}

Derivando:

y'_2(x) = \left(-Ax^2+(2A-B)x+(B-C) \right)e^{-x}

y''_2(x)= \left(Ax^2 +(B-4A)x+(2A-2B+C) \right)e^{-x}

Ao substituir na equação original:

y''_2(x) + 5y'_2(x) + 6y_2(x) = e^{-x}

obtemos

\left(2Ax^2 + (6A+2B)x +(2A+3B+2C) \right)e^{-x}=e^{-x}

Segue-se que:

A=0; \, B=0; \, C=\frac{1}{2}

Logo

y_2(x)=\frac{1}{2}e^{-x}

  • Solução final:

y(x) = y_1(x) + y_2(x)

y(x)=C_1e^{-3x}+C_2e^{-2x}+\frac{1}{2}e^{-x}

y'(x)=-3C_1e^{-3x}-2C_2e^{-2x}-\frac{1}{2}e^{-x}

Se x=0, então y(0)=0:

0 = C_1 +C_2 + \frac{1}{2}\Longrightarrow C_1+C_2=\frac{-1}{2}

Se x=0, então y'(0)=0:

0=-3C_1 -2C_2 -\frac{1}{2} \Longrightarrow 3C_1+2C_2= \frac{-1}{2}

Segue-se

C_1=\frac{1}{2}; C_2=1

Portanto

y(x)=\frac{1}{2}e^{-3x}-e^{-2x}+\frac{1}{2}e^{-x}

 

2. Resolva o sistema de equações diferenciais a seguir:

\begin{cases} x'=2x+4y \\ y' =-x+6y \end{cases}
com x(0) = -1 e y(0) = 6

Solução.

Considere a matriz A

A=\begin{pmatrix} 2& 4 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}

Calculamos os autovalores de A:

0=det(A)= \begin{vmatrix} (2-\lambda) & 4 \\ -1 & (6-\lambda) \end{vmatrix} \Longrightarrow \lambda_1= \lambda_2 =4

Os autovetores associados são:

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}; \, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{4} \end{pmatrix}

Logo a solução da equação diferencial é

\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = C_1 \begin{pmatrix} 1\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}e^{4t} + C_2\left( \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}t+ \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{4} \end{pmatrix} \right) e^{4t}

\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C_1 e^{4t} +C_2 te^{4t} \\ \frac{C_1}{2}e^{4t} +\frac{C_2}{2}te^{4t}+\frac{C_2}{4}e^{4t} \end{pmatrix}

Se x(0)=-1 e y(0)=6, então:

\begin{pmatrix} -1 \\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C_1 \\ \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{4} \end{pmatrix} \Longrightarrow C_1 = -1;\, C_2=26

Portanto a solução é:

\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -e^{4t} + 26 te^{4t} \\ 6e^{4t} + 13te^{4t} \end{pmatrix}

 

3. Sendo v=dx/dt determine a relação entre v e x na equação x'' + x^3 = 0, sendo x(0) = 1 e v(0) = 2.

Solução.

Considere

v=\dfrac{dx}{dt}

e considere a equação 

x''+x^3=0

Note que

-x^3 = \dfrac{d^2 x}{dt^2} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dx}{dt} \right)= \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dv}{dx} \cdot v \Longrightarrow -x^3 = v\dfrac{dv}{dx}

Por variáveis separáveis:

-x^3 dx = v dv

-\dfrac{1}{4}x^4 + C = \dfrac{1}{2}v^2

C=\dfrac{1}{2}v^2 + \dfrac{1}{4}x^4

Se x(0)=1 e v(0)=2, então

C= \dfrac{2^2}{2}+\dfrac{1^4}{4}=\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}

Portanto temos uma equação implícita entre x e v:

\dfrac{9}{4}= \dfrac{1}{2}v^2 + \dfrac{1}{4}x^4

9=2v^2 +x^4

Adicionalmente:

v(t) = \dfrac{1}{2} \sqrt{18-2(x(t))^4}

Para mais informação:
asesor.matematica.1990@gmail.com
Whatsapp: (11) 994414817

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