Expanda a série de Taylor para a função sen x em torno de pi

Para expandir a série de Taylor da função (\sin(x)) em torno de $x=\pi$, começamos pela definição da série de Taylor em torno de um ponto $a$:

[ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots ]

Para a função (f(x) = \sin(x)) e o ponto $a=\pi$, calculamos as derivadas de (\sin(x)):

1. (f(x) = \sin(x))

2. (f(\pi) = \sin(\pi) = 0)

3. (f'(x) = \cos(x))

4. (f'(\pi) = \cos(\pi) = -1)

5. (f''(x) = -\sin(x))

6. (f''(\pi) = -\sin(\pi) = 0)

7. (f'''(x) = -\cos(x))

8. (f'''(\pi) = -\cos(\pi) = 1)

9. (f^{(4)}(x) = \sin(x))

10. (f^{(4)}(\pi) = \sin(\pi) = 0)

11. (f^{(5)}(x) = \cos(x))

12. (f^{(5)}(\pi) = \cos(\pi) = -1)

13. (f^{(6)}(x) = -\sin(x))

14. (f^{(6)}(\pi) = -\sin(\pi) = 0)

15. (f^{(7)}(x) = -\cos(x))

16. (f^{(7)}(\pi) = -\cos(\pi) = 1)

A partir dos cálculos, notamos que as derivadas em $\pi$ se repetem com um padrão que se alterna a cada quatro termos, com o valor sendo 0 em algumas derivadas. Agora, para escrever a série de Taylor em torno de $\pi$:

Substituindo os valores que encontramos:

Assim, a série de Taylor da função (\sin(x)) em torno de $x=\pi$ é:

Podemos representar isso de forma mais compacta como:

Onde $n$ soma indexando os termos ímpares na série. Essa é a expansão da série de Taylor da função (\sin(x)) em torno de $x=\pi$.