Extremos local

Olá Victor ======================================== Eu vou usar as seguintes definições fx = df/dx , fy = df/dy , fxx = d²f/dx² , fyy = d²f/dy² , fxy = d²f/dxdy , fyx = d²f/dydx . ======================================== Para analisar os extremos da função f(x,y) = x² - 2x.sen(y) , vamos precisar das seguintes derivadas fx = 2x - 2sen(y) , (1) fy = -2x.cos(y) , (2) fxx = 2 , (3) fyy = 2x.sen(y) , (4) fxy = fyx = -2cos(y) . (5) O primeiro teste para enontrar extremos locais é fazer fx = 0 e fy = 0, então fx = 0 => x = sen(y) , (6) fy = 0 => x.cos(y) = 0 . (7) A eq. (7) mostra que os pontos P1 = (0,n.pi/2) , n = 1,3,5,... (8) satisfazem a condição (fy = 0). Para x = 0 a eq. (6) fornece P2 = (0,n.pi/2) , n = 0,2,4,... (9) Já para y = n.pi/2 , n = ímpar, a eq. (6) fornece P3 = (1,n.pi/2) , n = 1,5,9,... (10) e P4 = (-1,n.pi/2) , n = 3,7,11,... (11) Para completar nossa análise precisaremos do determinante |fxx fxy| |fyx fyy| = fxx.fyy - fxy² ,............(12) que para a função analisada fica Det = 4x.sen(x) - 4cos²(y) .............(13) Sabemos que se no ponto (a,b) 1. Det > 0 e fxx < 0 o ponto é um máximo, 2. Det > 0 e fxx > 0 o ponto é um mínimo, 3. Det < 0 o ponto é um ponto sela, 4. Det = 0 nada se pode concluir. Então para os pontos P1 = (0,n.pi/2) , n = 1,3,5,... (eq. (8)) Det = 0 e nada se pode concluir. Para os pontos P2 = (0,n.pi/2) , n = 0,2,4,... (eq. (9)) Det = -4 < 0 e o ponto é um ponto sela. Para os pontos P3 = (1,n.pi/2) , n = 1,5,9,... (eq. (10)) Det = 4 > 0 e fxx = 2 > 0 e os pontos são mínimos. Para os pontos P4 = (-1,n.pi/2) , n = 3,7,11,... (eq. (11)) Det = 4 > 0 e fxx = 2 > 0 e os pontos são mínimos. Veja as figuras https://screenshot.net/pt/v41nhr3 e https://screenshot.net/pt/ye0kuwv para entender o gráfico. Espero ter ajudado Bons estudos!