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Shmuel há 1 ano
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Fórmula de soma para série logaritima

como se encontra a fórmula para a enésima soma parcial da série: sigma( de 2 à infinito) ln(1-(1/n^2)) exercício do livro cálculo g.thomas II exercício de fixação 8.101. resposta do livro: ln(n+1/2n)convergindo para ln(1/2).
1 resposta
Professor Gustavo A.
Respondeu há 1 ano
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Pelo o que descreveu, o problema se trata de calcular . Pois bem, traçei essa estratégia aqui:

1. Reescrevendo o somatório: 

Por se tratar de uma soma infinita, é equivalente . Vamos chamar o novo somatório de A e vamos coompreendê-lo.

 

2. Entendendo A:

Pela propriedade da soma nos logaritmos, isto é,  , é equivalente  . Chamemos o logaritmando de B.

3. Entendendo B:

Agora, iremos conjecturar e provar por indução ums simplificação do produtório B:  .

  • n=2 : 
  • n=3 : 
  • n=4 : 
  • n=5 : 

 

Conjecturamos, então, que  . Por indução, de fato:

.

 

4. Substituições:

Fazendo as substituições com as novas descobertas e que ,  escrevemos . Sabendo que , então:

 

Portanto, pode-se concluir que .

 

 

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