Lagrange

Professor Vinícius W.

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Respondeu há 11 meses

Para determinar o maior valor possível para a soma das coordenadas de um ponto pertencente ao elipsoide de equação "(x-2)^2 + 2(y-1)^2 + (z-2)^2 = 40", podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos definir a função objetivo como "F(x, y, z) = x + y + z" e a função de restrição como "g(x, y, z) = (x-2)^2 + 2(y-1)^2 + (z-2)^2 - 40".

O objetivo é encontrar o ponto crítico de "F(x, y, z)" sujeito à restrição "g(x, y, z) = 0". Usando multiplicadores de Lagrange, montamos o sistema de equações:

1. df/dx = * dg/dx
2. df/dy = * dg/dy
3. df/dz = * dg/dz
4. g(x, y, z) = 0

Calculando as derivadas parciais, obtemos:

1. 1 = * (2x - 4)
2. 1 = * (4y - 4)
3. 1 = * (2z - 4)
4. (x-2)^2 + 2(y-1)^2 + (z-2)^2 = 40

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de x, y, z e .

Da primeira equação, temos: 2x - 4 = 1/ Da segunda equação, temos: 4y - 4 = 1/ Da terceira equação, temos: 2z - 4 = 1/

Igualando as expressões acima, obtemos: 2x - 4 = 4y - 4 = 2z - 4

Portanto, temos: x = y = z

Substituindo na quarta equação, temos:

(x-2)^2 + 2(x-1)^2 + (x-2)^2 = 40

Simplificando, temos:

4(x-1)^2 + 2(x-2)^2 = 40

Expandindo, temos:

4x^2 - 8x + 4 + 2x^2 - 8x + 8 = 40

Simplificando ainda mais, temos:

6x^2 - 16x - 28 = 0

Resolvendo essa equação quadrática, encontramos dois valores possíveis para x: x = 4 e x = -7/3.

Para o valor x = 4, temos: y = z = 4.

Para o valor x = -7/3, temos: y = z = -7/3.

Agora, podemos calcular a soma das coordenadas para cada caso:

Para x = 4, temos: x + y + z = 4 + 4 + 4 = 12.

Para x = -7/3, temos: y = z = -7/3.