Qual é o maior valor poss´ıvel para a soma das coordenadas de um ponto pertencente ao
elipsoide de equa¸cão
resposta : A maior soma é 15, ponto (6, 3, 6).
Para determinar o maior valor possível para a soma das coordenadas de um ponto pertencente ao elipsoide de equação "(x-2)^2 + 2(y-1)^2 + (z-2)^2 = 40", podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos definir a função objetivo como "F(x, y, z) = x + y + z" e a função de restrição como "g(x, y, z) = (x-2)^2 + 2(y-1)^2 + (z-2)^2 - 40".
O objetivo é encontrar o ponto crítico de "F(x, y, z)" sujeito à restrição "g(x, y, z) = 0". Usando multiplicadores de Lagrange, montamos o sistema de equações:
Calculando as derivadas parciais, obtemos:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de x, y, z e .
Da primeira equação, temos: 2x - 4 = 1/ Da segunda equação, temos: 4y - 4 = 1/
Da terceira equação, temos: 2z - 4 = 1/
Igualando as expressões acima, obtemos: 2x - 4 = 4y - 4 = 2z - 4
Portanto, temos: x = y = z
Substituindo na quarta equação, temos:
(x-2)^2 + 2(x-1)^2 + (x-2)^2 = 40
Simplificando, temos:
4(x-1)^2 + 2(x-2)^2 = 40
Expandindo, temos:
4x^2 - 8x + 4 + 2x^2 - 8x + 8 = 40
Simplificando ainda mais, temos:
6x^2 - 16x - 28 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos dois valores possíveis para x: x = 4 e x = -7/3.
Para o valor x = 4, temos: y = z = 4.
Para o valor x = -7/3, temos: y = z = -7/3.
Agora, podemos calcular a soma das coordenadas para cada caso:
Para x = 4, temos: x + y + z = 4 + 4 + 4 = 12.
Para x = -7/3, temos: y = z = -7/3.