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Laplace

Determine a solução da equação diferencial de 2ª ordem y?'+5y?+6y = e^-x com y(0) = 0 e y?(0) = 0.

Cálculo Equações Diferenciais
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Determine a solução da equação diferencial de 2ª ordem y''+5y'+6y = e^-x com y(0) = 0 e y'(0) = 0.

Solução.

Considere o PVI:

\begin{cases} y'' + 5y' +6y = e^{-x} \\ y(0)= 0; \, y'(0)=0 \end{cases}

Aplicando a transformada de Laplace na equação obtemos

\mathcal{L}\left(y'' + 5y' +6y \right) = \mathcal{L} \left(e^{-x}\right)

e considerando

\mathcal{L}(y(x)) = Y(s)

temos

\left( s^2Y(s) - s(0)-0 \right) +5 \left(sY(s)-0 \right) + 6Y(s) = \dfrac{1}{s+1}

Y(s) \left(s^2 +5s+6 \right)= \dfrac{1}{s+1}

Y(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)}

Y(s)= \dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2}+\dfrac{C}{s+3}

satisfazendo o seguinte sistema linear

\begin{cases} A+B+C=0 \\ 5A + 4B+3C=0 \\ 6A+3B+2C=1 \end{cases}

cuja solução é

A=\frac{1}{2};\, B=-1; \, C=\frac{1}{2}

Logo

Y(s)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s+1} \right) -\left(\dfrac{1}{s+2} \right)+\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{s+3} \right)

Aplicando a transformada inversa de Laplace

y(x)=\mathcal{L}^{-1}\left(Y(s) \right) =\frac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{s+1} \right) -\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{s+2} \right)+\dfrac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{s+3} \right)

y(x) = \dfrac{1}{2}e^{-x} - e^{-2x}+\dfrac{1}{2}e^{-3x}

Para mais informação:
asesor.matematica.1990@gmail.com
Whatsapp: (11) 994414817

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