Aulas Particulares no Profes
Aulas particulares Tarefas Minerva IA Planos Entrar Criar conta
Foto de Hebert D.
Hebert há 5 anos
Enviada pelo
Site

Laplace

Determine a solução da equação diferencial de 2ª ordem y?'+5y?+6y = e^-x com y(0) = 0 e y?(0) = 0.

Cálculo Equações Diferenciais
1 resposta
Foto do professor David C.
Professor David C.
Respondeu há 5 anos
Contatar David

Determine a solução da equação diferencial de 2ª ordem y''+5y'+6y = e^-x com y(0) = 0 e y'(0) = 0.

Solução.

Considere o PVI:

\begin{cases} y'' + 5y' +6y = e^{-x} \\ y(0)= 0; \, y'(0)=0 \end{cases}

Aplicando a transformada de Laplace na equação obtemos

\mathcal{L}\left(y'' + 5y' +6y \right) = \mathcal{L} \left(e^{-x}\right)

e considerando

\mathcal{L}(y(x)) = Y(s)

temos

\left( s^2Y(s) - s(0)-0 \right) +5 \left(sY(s)-0 \right) + 6Y(s) = \dfrac{1}{s+1}

Y(s) \left(s^2 +5s+6 \right)= \dfrac{1}{s+1}

Y(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)}

Y(s)= \dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2}+\dfrac{C}{s+3}

satisfazendo o seguinte sistema linear

\begin{cases} A+B+C=0 \\ 5A + 4B+3C=0 \\ 6A+3B+2C=1 \end{cases}

cuja solução é

A=\frac{1}{2};\, B=-1; \, C=\frac{1}{2}

Logo

Y(s)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s+1} \right) -\left(\dfrac{1}{s+2} \right)+\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{s+3} \right)

Aplicando a transformada inversa de Laplace

y(x)=\mathcal{L}^{-1}\left(Y(s) \right) =\frac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{s+1} \right) -\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{s+2} \right)+\dfrac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{s+3} \right)

y(x) = \dfrac{1}{2}e^{-x} - e^{-2x}+\dfrac{1}{2}e^{-3x}

Para mais informação:
asesor.matematica.1990@gmail.com
Whatsapp: (11) 994414817

0 0

Um professor já respondeu

Envie você também uma dúvida grátis
Ver resposta
Tutoria com IA
Converse com a Minerva IA e aprenda, tire dúvidas e resolva exercícios
Enviar dúvida
Minerva IA
do Profes
Respostas na hora
100% no WhatsApp
Teste-me
Envie suas dúvidas pelo App. Baixe agora
Prefere professores para aulas particulares ou resolução de atividades?
Aulas particulares
Encontre um professor para combinar e agendar aulas particulares Buscar professor
Tarefas
Envie sua atividade, anexe os arquivos e receba ofertas dos professores Enviar tarefa