Limite da função com x tendendo à -1

´Por teorema, um limite só pode existir quando seu valor é único. Vamos olhar os valores dessa função quando os valores de x se aproximam pela esquerda (números negativos para o -1) e pela direita (positivos para o -1). Ainda mais, dividimos a interpretação para a parcela x+1 e x²-3x, que pode ser escrita como x*(x-3).

i) quando nos aproximamos pelo -1 pela esquerda, a parte x+1 vai se aproximando do zero pela esquerda também, então escrevemos que . Quando mais nos aproximamos de -1 pela direita, no intervalo de -2<x<-1, x é negativo e (x-3) também, então o produto x*(x-3)=x²-3x é positivo, ou seja, se aproxima do 4 pela direita também . No final, temos uma divisão com o deniminador se aproximando por 0, o que implica tender ao infinito, por terem sinais distintos, para um infinito negativo:  .

ii) quando nos aproximamos pelo -1 pela direita, a parte x+1 vai se aproximando do zero pela direita também, então  . Quando nos aproximamos do 0 pela direita, no intervalo -1<x<0, x*(x-3) é positivo, o que siginifica que se aproxima de 0 pela direita, logo . Agora, quando colocamos na forma de fração, pelo denominador se aproximar de zero, tende ao infinito, e por serem dois positivos, ao infinito positivo, ou seja, . 

Esses valores serem diferentes, um infinito negativamente e outro positivamente, indicam que o limite não tem valor único, o que pela unicidade do limite, não permite existencia. O limite não existe.

observe que

observe que

como o limite se tratra de uma fração cujo numerador possui um limite e o denominador possui um limite nulo então o limite não existe

Pense assim.

O Numerado: x² - 3x com x -> -1 sempre vai tender para (-1)² - 3(-1) = 4 (positivo)

Já o denominador x+1 ele vai ser muito proximo do zero porém positivo se o x vier da direita (-1)+ e vai ser negativo se o x vier da esquerda (-1)-.

Logo teríamos 4/~0 que sabemos que vai para infinito.
Porém pela direita +infinito
pela esquerda -infinito

Esse limite diverge.