Limite de duas variáveis

Olá, gostaria de verificar se minha solução está correta.

Lim (x2sen2y)/x2+2y2

quando (x,y) ? (0,0)

primeiro eu separei sen2y multiplicando o resto da função e depois eu limitei a função

0?x2? x2+2y2

0?x2/x2+2y2? 1

depois de limitar, multipliquei o limite de sen2y, com y tendendo ao 0, pelo limite da funçao limitada.

o resultado do limite é 0, quero apenas confirmar se o método usado é valido

       

Gustavo D.
Gustavo
perguntou há 3 semanas

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Professor Rene P.
Respondeu há 3 semanas
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Uma é limitada e a outra tem limite zero, produto tem limite zero.

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Professor David C.
Respondeu há 1 semana

Passo 1. Comparar a função com outra função a qual conheca seu límite.

\dfrac{x^2\, sin^2(y)}{x^2+y^2}\leq \dfrac{x^2\, sin^2(y)}{y^2} = x^2 \left(\dfrac{sin(y)}{y} \right)^2

Além disso:

\lim_{(x,y)\to (0,0)} x^2 = 0

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\dfrac{\sin(y)}{y} \right)^2 = \left(\lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{\sin(y)}{y} \right)^2 = 1^2 = 1

 

Portanto:

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2 \, \sin^2(y)}{y^2} = 0 (1) = 0

 

Passo 2. Usar o passo 1 para escrever a desigualdade na forma de limites.

Dado que \dfrac{x^2 \sin^2(y)}{x^2+y^2} \leq \dfrac{x^2 \sin^2(y)}{y^2} então:

 

0 \leq \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2 \sin^2(y)}{x^2+y^2} \leq \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2 \sin^2(y)}{y^2} = 0

Logo pela propriedade análoga ao teorema do Sanduíche, temos que

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2 \sin^2(y)}{x^2+y^2} = 0

 

 

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