Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela de f(x, y) = (x - y)(1 - xy).
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Em primeiro lugar devemos fazer as derivadas primeiras em relação a x e em seguida fazer fx = 0 e e em relação a y e depois fy = 0 para obermos os pontos críticos (ou seja, onde ocorrerão os máximos e mínimos locais, se existirem). Fazendo isto os números críticos encontrados são: (1,1) e (-1,-1) .
Para achar estes valores resolva o seguinte sistema de duas equações e duas variáveis:
fx = 1 - 2xy + y^2 = 0
fy = -1 +2xy - x^2 = 0
Após esta etapa é necessário obter as derivas segundas, que são fxx, fyy, fxy, fyx. Note que fxy e fyx devererão ser idênticas, pois indica uma função contínua e diferenciável, em um dado intervalo.
fxx = -2y; fyy = 2x;
fxy = -2x+2y e fyx = -2x+2y
Obs:
Teste da Derivada Segunda: D(x,y) = fxx.fyy - fxy.fyx , onde:
D(x,y) > 0 e fxx < 0, representa um máximo local;
D(x,y) > 0 e fxx > 0, representa um mínimo local;
D(x,y) < 0 ponto de sela;
Portanto, para este caso f(x,y) = (x-y).(1-xy) , temos para os pontos críticos (1,1) e (-1,-1) pontos de sela; D(1,1) = D(-1,-1) = -4
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