Máximo, mínimo e pontos de sela

Em primeiro lugar devemos fazer as derivadas primeiras em relação a x e em seguida fazer fx = 0 e e em relação a y e depois fy = 0 para obermos os pontos críticos (ou seja, onde ocorrerão os máximos e mínimos locais, se existirem). Fazendo isto os números críticos encontrados são: (1,1) e  (-1,-1) . 

Para achar estes valores resolva o seguinte sistema de duas equações e duas variáveis:

fx = 1 - 2xy + y^2 = 0

fy = -1 +2xy - x^2 = 0

Após esta etapa é necessário obter as derivas segundas, que são fxx, fyy, fxy, fyx. Note que fxy e fyx devererão ser idênticas, pois indica uma função contínua e diferenciável, em um dado intervalo.

fxx = -2y; fyy = 2x;

fxy = -2x+2y e fyx = -2x+2y

Obs:

Teste da Derivada Segunda: D(x,y) = fxx.fyy - fxy.fyx  , onde:

D(x,y) > 0 e fxx < 0, representa um máximo local;

D(x,y) > 0 e fxx > 0, representa um mínimo local;

D(x,y) < 0 ponto de sela;

Portanto, para este caso f(x,y) = (x-y).(1-xy) , temos para os pontos críticos (1,1) e (-1,-1) pontos de sela; D(1,1) = D(-1,-1) = -4