Me ajuda a calcular derivadas em relação a x e y

Question

Profes A. · Accepted Answer

Claro! Vamos calcular as derivadas parciais da função $f (x, y) = 3 x^{2} - 4 x^{3} y^{2}$ em relação a $x$ e $y$ .

Para calcular a derivada parcial de $f$ em relação a $x$ , tratamos $y$ como uma constante.

f (x, y) = 3 x^{2} - 4 x^{3} y^{2}

A derivada parcial em relação a $x$ , denotada por $f_{x}$ ou $\frac{\partial f}{\partial x}$ , é:

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3 x^{2}) - \frac{\partial}{\partial x} (4 x^{3} y^{2})

Calculando cada termo:

A derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 x$ .
A derivada de $- 4 x^{3} y^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 x^{2} y^{2}$ (usando a regra do produto).

Portanto:

\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x - 12 x^{2} y^{2}

Para calcular a derivada parcial de $f$ em relação a $y$ , tratamos $x$ como uma constante.

A derivada parcial em relação a $y$ , denotada por $f_{y}$ ou $\frac{\partial f}{\partial y}$ , é:

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3 x^{2}) - \frac{\partial}{\partial y} (4 x^{3} y^{2})

Calculando cada termo:

A derivada de $3 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ (já que não depende de $y$ ).
A derivada de $- 4 x^{3} y^{2}$ em relação a $y$ é $- 8 x^{3} y$ (usando a regra da potência).

Portanto:

\frac{\partial f}{\partial y} = 0 - 8 x^{3} y = - 8 x^{3} y

As derivadas parciais da função $f (x, y) = 3 x^{2} - 4 x^{3} y^{2}$ são:

Se você tiver mais perguntas ou precisar de mais ajuda, estou à disposição!