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Quando os eixos são rotacionados de um ângulo de 45° a equação transformada de uma curva é 17x2– 16xy 17y2= 225. Encontre a equação original da curva.

Carla S.
Carla
perguntou há 1 mês

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Professor Renan F.
Respondeu há 1 mês

Estou entendendo que a equação transformada da curva é

17x^2 - 16xy + 17y^2 = 225 (com + na frente do 17y^2)

Aqui ^ denota potenciação. A rotação de 45 graus tem matriz

cos 45   -sen 45

sen 45    cos 45

Denotando a raiz de 2 por sqrt 2, essa rotação leva (x, y) a ( (x - y)/sqrt 2, (x + y)/sqrt 2). Agora basta substituir x e y pelos valores transformados.

17((x - y)/sqrt 2)^2 - 16((x - y)/sqrt 2)((x + y)/sqrt 2) + 17((x + y)/sqrt 2)^2 = 225

No lado esquerdo, aparece o denominador (sqrt 2)^2 = 2.

(17(x - y)^2 - 16(x - y)(x + y) + 17(x + y)^2) / 2 = 225

(17x^2 - 34xy + 17y^2 - 16x^2 + 16y^2 + 17x^2 + 34xy + 17y^2) / 2 = 225

(18x^2 + 50y^2) / 2= 225

9x^2 + 25y^2 = 225

Podemos dividir ambos os lados por 225, notando que 225 = 9 * 25 e obtendo:

(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1

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