Mostre limite

Question

Usando a definição, mostre que lim x-> 0 (2x+1)=1

Lucas G. · Accepted Answer

Primeiro um rascunho:Notamos primeiramente que o domínio da função  é todo o conjunto dos reais,  Assim não é preciso mencionar seu domínio.Queremos mostrar quePara todo real , existe  número real tal que, para todo , tem-se Note que |f(x) - 1| = |(2x+1) - 1| = |2x| = 2|x|. Então dado um  genérico, temos que encontrar  em termos do  de forma que a restrição  garanta que  A última desigualdade é equivalente à Portanto, vemos que  servirá. Vamos à solução:Seja  um número real. Tome  Então para todo , temos que Isto prova que  pela definição, onde f: IR -> IR dada por f(x) = 2x+1.

Christian G. · Answer

A definição de limite é complexa para ser explicada em uma resposta tão curta. Dessa forma, tentarei ser bem resumido para focar mais na ideia do problema.
A definição nesse caso fica:

|x-0|< $\delta$ $\rightarrow$ |2x+1-1|< $\varepsilon$

re-escrevendo

|x|< $\delta$ $\rightarrow$ |2x|< $\varepsilon$

Note que, a nossa tarefa é dizer qual deve ser o '' $\delta$ '' para que consigamos ter a desigualdade ''|2x|< $\varepsilon$ ''. Nesse caso a resposta é '' $\delta$ = $\varepsilon$ /2''.
Você deve estase se perguntando: de onde diabos saiu essa resposta?

A questão é que esse ''delta'' permite sair de ''|2x|'' e chegar em ''< $\varepsilon$ ''. Da seguinte forma:
|2x|=2|x|<2 $\delta$ =2 $\varepsilon$ /2= $\varepsilon$

Esse ''delta'' resolve porque com esse ''delta'' nós conseguimos a desigualdade ''|2x|< $\varepsilon$ ''.

Como eu disse, é um conceito complexo de se explicar por texto. Mas espero ter ajudado de alguma forma. Qualquer dúvida pode entrar em contato.

Atenciosamente,

Christian Garcia.

Mostre limite

Um professor já respondeu

Um professor já respondeu

Envie suas dúvidas pelo App. Baixe agora

Prefere professores para aulas particulares ou resolução de atividades?