Caro Nathan, Para fazer a mudança na ordem de integração, é preciso traçar o gráfico com os limites para determinar a região de integração e com isso, como vai ficar os novos limites. Para a equação em questão os limites de integração são:
0 <= x < = 4 e √x <= y <= 2. ao trocar os limites esses ficarão 0 <= x < = y2 e 0 <= y <= 2.
então a integral será ∫02 ∫0y^2 cos(y) dx.dy e resolvendo temos:
∫02 cos(y) ∫0y^2 dx.dy = ∫02 x . cos(y) Ι0y^2 . dy = ∫02 y2 . cos(y) . dy
Olá Nathan,
Devemos primeiramente inverter os extremos de integração
Se √x = y → x = y^2 , então, trocando os extremos fica 0 ≤ x ≤ y^2 e 0 ≤ y ≤ 2
Reescrevendo a integral teremos
2 y^2
∫ ∫ cos(y) dx.dy e resolvendo temos:
0 0
y^2 y^2
∫ cos(y) dx = [x. cos y ] = y^2.cos y – 0. cos y = y^2.cos y
0 0
2
∫ y^2 . cos(y) . dy ( resolvendo, pelo método de resolução por partes)
0
Fazemos u = y^2 → du = 2.y dy
dv = cos y dy → v = sen y
2 2 2
∫ y^2 . cos(y) . dy = y^2 sen y - ∫ ( sen y ) 2.y. dy = y^2 sen y – 2. ∫ ( sen y ) y. dy =
0 0 0
2
Resolvendo 2. ∫ ( sen y ) y. dy = (pelo método de resolução por partes)
0
Fazemos u = y → du = dy
dv = sen y dy → v = - cos y
2 2 2
2. ∫ ( sen y ) y. dy = 2. [ y . (- cos y - ∫ ( - cos y ) dy ]= { 2 .[ - y.cos y + sen y ]}
0 0 0
Então :
2 2
∫ y^2. cos y. dy = { y^2. sen y - 2 .[ - y.cos y + sen y ] } =
0 0
2 2
∫ y^2. cos y. dy = { y^2. sen y + 2 . y.cos y - 2. sen y ] } =
0 0
2
∫ y^2. cos y. dy = [ 4.sen2 + 4 cos2 – 2 sen 2 ] – [ 0.sen 0 + 2.0.cos 0 + 2. Sen 0 ]
0
2
∫ y^2. cos y. dy = 2. sen 2 + 4. cos 2
0
resposta correta : alternativa a
Aulas particulares
