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Muitas das aplicações do cálculo Diferencial dependem de nos

Muitas das aplicações do cálculo Diferencial dependem de nossa habilidade para deduzir fatos sobre uma função f a partir de informações relativas a suas derivadas. Como a derivada representa a inclinação da curva y = f(x) no ponto (x, f(x)), ela nos informa para qual direção a curva segue em cada ponto. Assim, é razoável esperar que informações sobre f(x). Umas das informações que podemos extrair ao derivar uma função é o número crítico (ponto crítico). O número crítico é um número c no domínio de f, tal que a derivada de f seja zero ou não existe esse ponto. Considere a função real, definida no intervalo [0, 6], tal que f(x) = x - 2sen(x). A presente atividade tem por objetivo a determinação dos pontos críticos da função supracitada. Com base nessas informações e auxílio do software VCN nos itens B e C, resolva os itens a seguir: A) use o teorema de Cauchy-Bolzano e determine dois subintervalos que contenham os pontos. Expresse os limites desses intervalos como números inteiros. B) use o método da bissecção e determine o menor número crítico dessa função no intervalo dado, tal que o erro |xn + 1 - xn| < 0,1( apresente prints da tela) C) use o método de Newton-Raphson e determine o maior número crítico dessa função no intervalo dado, tal que o erro |xn + 1 - xn| < 0,001. Use o ponto médio do intervalo como aproximação inicial (apresente prints da tela).
Minerva IA
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Respondeu há 11 minutos

Vamos resolver sua dúvida passo a passo, considerando a função f(x)=x2sin(x) no intervalo [0,6].

A) Teorema de Cauchy-Bolzano

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de x onde a derivada é zero ou não existe. Vamos começar derivando a função:

f(x)=12cos(x)

Para determinar os pontos críticos, resolvemos a equação:

12cos(x)=0 2cos(x)=1 cos(x)=12

No intervalo [0,6], os valores de x que satisfazem cos(x)=12 são:

x=π3ex=5π3

Aproximando os valores:

π31.047 5π35.236

Pelo Teorema de Cauchy-Bolzano, verificamos que a função tem valores opostos em f(x) entre x=1 e x=2, e entre x=5 e x=6. Assim, dois subintervalos que contêm os pontos críticos são [1,2] e [5,6].

B) Método da Bissecção

Para encontrar o menor número crítico no intervalo [1,2], usando o método da bissecção e um erro de |xn+1xn|<0.1, faça o seguinte:

  1. Definir a=1 e b=2.
  2. Calcular o ponto médio m=a+b2.
  3. Avaliar f(m).
  4. Se f(a)×f(m)<0, então o zero está no intervalo [a,m]. Caso contrário, está no intervalo [m,b].
  5. Repita o processo até que |ba|<0.1.

Ao aplicar o método, arbitrariamente simplificado para este texto, o valor se aproximará de π3.

C) Método de Newton-Raphson

Para o maior número crítico no intervalo [5,6], usando o método de Newton-Raphson com um erro de |xn+1xn|<0.001, siga este procedimento:

  1. A função derivada já é dada por: f(x)=12cos(x).
  2. Derivar novamente para obtenção de f(x)=2sin(x).
  3. Use x0=5.5 como ponto inicial.
  4. A fórmula do método de Newton-Raphson é:
    xn+1=xnf(xn)f(xn)

  5. Continue iterando até que |xn+1xn|<0.001.

Ao aplicar este método, o valor convergirá para x5π3.

Sugiro que você utilize um software como o VCN para executar os cálculos e produzir as telas solicitadas, já que isso envolve interatividade que não pode ser reproduzida aqui.

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