Muitas das aplicações do cálculo Diferencial dependem de nos

Question

Muitas das aplicações do cálculo Diferencial dependem de nossa habilidade para deduzir fatos sobre uma função f a partir de informações relativas a suas derivadas. Como a derivada representa a inclinação da curva y = f(x) no ponto (x, f(x)), ela nos informa para qual direção a curva segue em cada ponto. Assim, é razoável esperar que informações sobre f(x). Umas das informações que podemos extrair ao derivar uma função é o número crítico (ponto crítico). O número crítico é um número c no domínio de f, tal que a derivada de f seja zero ou não existe esse ponto. Considere a função real, definida no intervalo [0, 6], tal que f(x) = x - 2sen(x). A presente atividade tem por objetivo a determinação dos pontos críticos da função supracitada. Com base nessas informações e auxílio do software VCN nos itens B e C, resolva os itens a seguir: A) use o teorema de Cauchy-Bolzano e determine dois subintervalos que contenham os pontos. Expresse os limites desses intervalos como números inteiros. B) use o método da bissecção e determine o menor número crítico dessa função no intervalo dado, tal que o erro |xn + 1 - xn| < 0,1( apresente prints da tela)  C) use o método de Newton-Raphson e determine o maior número crítico dessa função no intervalo dado, tal que o erro |xn + 1 - xn| < 0,001. Use o ponto médio do intervalo como aproximação inicial (apresente prints da tela).

Profes A. · Accepted Answer

Vamos resolver sua dúvida passo a passo, considerando a função $f (x) = x - 2 \sin (x)$ no intervalo $[0, 6]$ .

A) Teorema de Cauchy-Bolzano

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de $x$ onde a derivada é zero ou não existe. Vamos começar derivando a função:

f^{'} (x) = 1 - 2 \cos (x)

Para determinar os pontos críticos, resolvemos a equação:

1 - 2 \cos (x) = 0

2 \cos (x) = 1

\cos (x) = \frac{1}{2}

No intervalo $[0, 6]$ , os valores de $x$ que satisfazem $\cos (x) = \frac{1}{2}$ são:

x = \frac{π}{3} e x = \frac{5 π}{3}

Aproximando os valores:

\frac{π}{3} \approx 1.047

\frac{5 π}{3} \approx 5.236

Pelo Teorema de Cauchy-Bolzano, verificamos que a função tem valores opostos em $f^{'} (x)$ entre $x = 1$ e $x = 2$ , e entre $x = 5$ e $x = 6$ . Assim, dois subintervalos que contêm os pontos críticos são $[1, 2]$ e $[5, 6]$ .

B) Método da Bissecção

Para encontrar o menor número crítico no intervalo $[1, 2]$ , usando o método da bissecção e um erro de $| x_{n + 1} - x_{n} | < 0.1$ , faça o seguinte:

Definir $a = 1$ e $b = 2$ .
Calcular o ponto médio $m = \frac{a + b}{2}$ .
Avaliar $f^{'} (m)$ .
Se $f^{'} (a) \times f^{'} (m) < 0$ , então o zero está no intervalo $[a, m]$ . Caso contrário, está no intervalo $[m, b]$ .
Repita o processo até que $| b - a | < 0.1$ .

Ao aplicar o método, arbitrariamente simplificado para este texto, o valor se aproximará de $\frac{π}{3}$ .

C) Método de Newton-Raphson

Para o maior número crítico no intervalo $[5, 6]$ , usando o método de Newton-Raphson com um erro de $| x_{n + 1} - x_{n} | < 0.001$ , siga este procedimento:

A função derivada já é dada por: $f^{'} (x) = 1 - 2 \cos (x)$ .
Derivar novamente para obtenção de $f^{″} (x) = 2 \sin (x)$ .
Use $x_{0} = 5.5$ como ponto inicial.
A fórmula do método de Newton-Raphson é:
$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f^{'} (x_{n})}{f^{″} (x_{n})}$
Continue iterando até que $| x_{n + 1} - x_{n} | < 0.001$ .

Ao aplicar este método, o valor convergirá para $x \approx \frac{5 π}{3}$ .

Sugiro que você utilize um software como o VCN para executar os cálculos e produzir as telas solicitadas, já que isso envolve interatividade que não pode ser reproduzida aqui.

Muitas das aplicações do cálculo Diferencial dependem de nos

A) Teorema de Cauchy-Bolzano

B) Método da Bissecção

C) Método de Newton-Raphson

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