Multiplicadores de lagrange

Vamos começar pela questão a): Temos a função f(x,y)=x^2-y^2 e a restrição vamos escrever como g(x,y) = 0. No nosso caso isso significa que g(x,y)=x^2+y^2-1. Encontrar os extremos de f restrita a restrição g, consiste em resolver a equação grad(f) = c grad(g) (onde grad(f) é o gradiente de f). No nosso caso, grad(f) = (2x,-2y) e grad(g) = (2x,2y), assim a equação grad(f) = c grad(g) se torna (2x,-2y) = c(2x,2y). Portanto, temos o par de equações: 2x = c2x e -2y = c2y. Note que (x,y) = (0,0) é solução do sistema, mas nesse caso, x^2+y^2 = 0 e o par não satisfaz a restrição g(x,y) = 0. Caso x não seja zero, a primeira equação nos informa que c=1, jogando esse valor de c na segunda equação, temos -2y = 2y o que nos diz que y = 0. A restrição g(x,y) se torna: x^2 -1=0 e portanto x=1 ou x=-1. Assim, encontramos as duas primeiras soluções: (1,0) e (-1,0). Caso y seja diferente de zero, a segunda equação nos informa que c=-1, jogando esse valor de c na primeira equação, temos 2x = -2x o que nos diz que x = 0. A restrição g(x,y) se torna: y^2 -1=0 e portanto y=1 ou y=-1. Assim, encontramos as outras duas soluções: (0,1) e (0,-1). Portanto os valores extremos ocorrem nos pontos: (1,0), (-1,0), (0,1) e (0,-1). O valor de f nesse pontos é: f(1,0) = 1, f(-1,0) = 1, f(0,1) = -2 e f(0,-1) = -2. Desse modo, f tem um máximo absoluto de 1 ocorrendo nos pontos (1,0) e (-1,0) e um mínimo absoluto de -2 ocorrendo nos pontos (0,1) e (0,-1). Vamos a questão b): Aqui, f(x,y,z) = e^xyz. Nesse caso temos duas restrições: 2x^2+y^2= 4 e z^2=4. Vamos representar essas restrições através de duas funções: g(x,y,z) = 2x^2+y^2 - 4 e h(x,y,z) = z^2 - 4. Assim nossas restrições são: g(x,y,z) = 0 e h(x,y,z) = 0. Nossa equação de multiplicadores de Lagrange se torna: grad(f) = c grad(g) + k grad(h). Vamos calcular os gradientes: grad(f) = (yz e^xyz, xz e^xyz, xy e^xyz), grad(g) = (4x,2y,0), grad(h) = (0,0, 2z) Portanto, temos a equação: (yz e^xyz, xz e^xyz, xy e^xyz) = c(4x,2y,0) + k(0,0, 2z). Isto é: yz e^xyz = c4x (1) xz e^xyz = c2y (2) xy e^xyz = k2z (3) As equações acima nos mostram que caso x ou y ou z sejam zero, todas tem que ser zero, mas (0,0,0) não satisfaz as condições de restrição, assim, podemos que x, y e z são diferentes de 0. Isolando c nas equações (1) e (2) temos yz/4x e^xyz = xz/2y e^xyz o que implica y/2x = x/y e portanto y^2 = 2x^2. Jogando isso na restrição g(x,y,z), vamos encontrar que x = 1 ou x = -1 e y = raiz(2) ou y = -raiz(2). A segunda restrição já nos informa diretamente que z = 2 ou z = -2. Temos portanto, 8 pontos de extremos: (1,raiz(2),2), (-1,raiz(2),2), (1,-raiz(2),2), (-1,-raiz(2),2), (1,raiz(2),-2), (-1,raiz(2),-2), (1,-raiz(2),-2) e (-1,-raiz(2),-2). Para encontrar os valores extremos que f(x,y,z) assume, basta jogar esses valores na função. Fazendo isso, vamos encontrar que e^(2raiz(2)) é o máximo, atingido nos pontos (1,raiz(2),2), (-1,-raiz(2),2), (-1,raiz(2),-2) e (1,-raiz(2),-2). Vamos encontrar também que o mínimo de f(x,y,z) é e^(-2raiz(2)), atingido nos pontos (-1,raiz(2),2), (1,-raiz(2),2), (1,raiz(2),-2), (-1,-raiz(2),-2).