Na função f, onde f(x) = x²-x-2, determine a equação da reta tangente e da reta normal no ponto P (1,-2). Calcule f´(0,5)

Para resolver essa questão, vamos seguir o passo a passo para determinar a equação da reta tangente e da reta normal à curva dada pela função $f(x)=x^2-x-2$ no ponto $P(1,-2)$, e também calcular $f^{\prime }(0,5)$.

Equação da Reta Tangente:

1. Determine a derivada da função:
   A derivada de $f(x)=x^2-x-2$ é $f^{\prime }(x)=2x-1$.

2. Calcule a inclinação da reta tangente no ponto P (1, -2):
   Substituindo $x=1$ na derivada, temos $f^{\prime }(1)=2(1)-1=1$.
   Portanto, a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente é 1.

3. Determine a equação da reta tangente:
   A fórmula para a equação da reta é $y-y_1=m(x-x_1)$, onde $m$ é a inclinação da reta, e ((x_1, y_1)) é o ponto dado.
   Substituindo os valores: $y+2=1·(x-1)$
   Ou seja, $y=x-3$ é a equação da reta tangente.

Equação da Reta Normal:

1. Determine a inclinação da reta normal:
   A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Portanto, se a inclinação da reta tangente é 1, a inclinação da reta normal é $-1$.

2. Determine a equação da reta normal:
   Usamos a mesma fórmula da reta, mas com a nova inclinação:
   
   $y+2=-1(x-1)$

Ou, simplificando, $y=-x-1$ é a equação da reta normal.

Cálculo de $f^{\prime }(0.5)$:

1. Use a derivada para calcular $f^{\prime }(0.5)$:
   
   $f^{\prime }(x)=2x-1$

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Portanto, a equação da reta tangente é $y=x-3$, a equação da reta normal é $y=-x-1$, e $f^{\prime }(0.5)=0$.