Na função f, onde f(x) = x²-x-2, determine a equação da reta tangente e da reta normal no ponto P (1,-2). Calcule f´(0,5)

Na função f, onde f(x) = x²-x-2, determine a equação da reta tangente e da reta normal no ponto P (1,-2). Calcule f´(0,5) Bem, vamos lá! Para achar a reta tangente, é preciso calcular a derivada da função. f(x) = x² - x -2 , então f ’(x) = 2x -1 A equação da reta tangente em um ponto é: (y-y0) = m(x-x0) Onde “m” é o coeficiente angular da reta, ou seja, a tangente à curva no ponto dado; e (x0,y0) as coordenadas do ponto P. Então, m = f ‘(1) = 2-1 = 1 e P(1, -2) Logo a equação da tangente é (y+2) = 1(x-1) ou y = x – 3 A reta normal possui coeficiente angular m’ = -m Então, m’ = -m = -1 e P(1,-2) Logo, a equação da normal será (y+2) = -1 (x-1) ou y = - x – 1. O valor de f ‘ (0,5) é: f ‘ (x) = 2x -1, f ‘(0,5) = 2*0,5 -1 = 1 -1 = 0 f ‘(0,5) = 0 Espero te ajudado. Bons estudos.

Para encontrar o coeficiente angular da reta tangente a curva, é necessário derivar a curva original. Ou seja: f'(x) =2x - 1 A equação acima nos dá os coeficientes angulares. Logo, f'(0,5) = (2 x 0,5) - 1 = 0. Para x=1, f'(x) é: f'(1) = (2x1) - 1 = 1. Logo, a inclinação da reta tangente a P (1,-2) é 1. A reta tangente é dada por: y-y0 = f'(x0) (x-x0) Substituindo: y - (-2) = 1 (x-1) => y = x -3 (reta tangente). A reta normal é a reta perpendicular a reta tangente. Sua inclinação é dada por: m = -1/f'(x0) Então, m = -1. A reta normal é dada por: y - (-2) = -1(x-1) Então: y+2 = -x+1 Portanto: y = -x-1 (reta normal). Espero ter ajudado!

Boa tarde Claudia.

A equação da reta tangente é obtida ao se calcular o valor da primeira derivada no ponto P.

Dessa maneira, temos que calcular f'(x) e obter o valor para xp (valor de x do ponto P).

f(x) = x² - x - 2 => f'(x) = 2x - 1

Para P (1, -2) temos que f'(1) = 2·1 - 1 = 1

Portanto, a reta tangente ao ponto P é dada por:

(y - yp) = f'(xp) · (x - xp)
(y - (-2)) = 1·(x - 1)
y + 2 = x -1
y = x -1 -2
y = x - 3.

A reta Normal passa pelo mesmo ponto P e tem coeficiente angular igual ao inverso do oposto do coeficiente angular da reta tangente. Dessa maneira, temos que m (coeficiente angular da reta Normal) é dada por:

m · 1 = -1 => m = -1

Portanto, a reta Normal é dada por:

(y - yp) = m · (x - xp)
(y - (-2)) = -1·(x - 1)
y + 2 = -x +1
y = -x +1 -2
y = -x - 1.

Como f'(x) = 2x - 1, então f'(0,5) = 2·0,5 - 1 = 0

Conclusão: x = 0,5 é um ponto crítico.

Espero ter ajudado e bons estudos.