Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de manipulações das expressões matemáticas pode salvar muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem sempre é prático deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções trigonométricas, de forma que este limite e a regra de L’Hospital servem como importantes ferramentas para resolver limites que recorrem em indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir.
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero.
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) ? 3sen(3x)sen(5x).
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n.
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) ? 5sen(3x)sen(5x).
Boa tarde, Ronaldo!
Você tem razão! Todas as alternativas estão corretas.
I) aplicando l´hopital, já que há indeterminação do tipo 0/0. Nesse caso, deriva-se o numerador e o denominador da função.
lim tg(x²)/x, para x ?0
numerador: y´= 2x (sec2x2)
denominador: y´= 1
Resolvendo a equação 2x (sec2x2) / 1 e com a substituição de x=0:
2 (0) x (1/cos2x2) /1 = 0 x (1/1) = 0
II) y´= sen(5x).cos(3x)
y´= u´v + v´u, onde u = sen(5x) e v=cos(3x)
y´= 5cos(5x).cos(3x) + [-3(sen(3x)).sen(5x)]
y´= 5cos(5x).cos(3x) - 3sen(3x).sen(5x)
III) aplicando l´hopital, já que há indeterminação do tipo 0/0.
lim sen(mx)/nx, para x ?0
numerador: y´= m.cos(mx)
denominador: y´= n
Resolvendo a equação m.cos(mx) / n e com a substituição de x=0:
m.cos(m x 0) / n = (m/n) x cos (0) = (m/n) x 1 = m/n
IIII) y´= cos(5x).sen(3x)
y´= u´v + v´u, onde u = cos(5x) e v=sen(3x)
y´= -5sen(5x).sen(3x) + 3cos(3x).cos(5x)
y´= 3cos(3x).cos(5x) - 5sen(5x).sen(3x)
R: as alternativas I, II, III e IV estão corretas.
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