Prova

Para resolver o problema e determinar a produção que maximiza o lucro, primeiro precisamos entender como o lucro é calculado.

O lucro ($L$) é dado pela diferença entre a receita ($R$) e o custo ($C$):

A receita é obtida pela multiplicação do preço unitário do produto pela quantidade produzida ($z$):

O custo é obtido pela soma do custo dos fatores de produção $x$ e $y$ levando em conta seus preços unitários:

Dada a função de produção $z=900-x^2-y^2+32x+41y$, substituímos $z$ na expressão da receita:

Agora calculamos o lucro:

Substituindo os valores de $R$ e $C$:

Simplificando a expressão do lucro:

Para maximizar o lucro $L$, precisamos encontrar os pontos críticos da função de lucro. Para isso, vamos derivar $L$ em relação a $x$ e $y$ e igualar a zero para obter os valores que maximizam o lucro.

Primeiramente, derivamos $L$ em relação a $x$:

Resolvendo para $x$:

Em seguida, derivamos $L$ em relação a $y$:

Resolvendo para $y$:

Portanto, $x=15.8$ e $y=20.4$ são os valores que maximizam o lucro. Agora, substituímos esses valores na função de produção para encontrar $z$:

Calculando passo a passo:

Substituímos os valores na função de produção:

Agora substituímos $x$, $y$ e $z$ na fórmula do lucro para encontrar o lucro máximo:

Calculamos novamente os valores já obtidos:

Substituindo na fórmula do lucro:

Portanto, o lucro máximo é $7829$ e a produção que maximiza o lucro é $z=1576.2$.