Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 8m³ e com a menor área de superfície possível? (R: 2,52; 2,52; 1,26m)

Question

Profes A. · Accepted Answer

Vamos resolver o problema da caixa retangular sem tampa, com volume de 8 m³ e com a menor área de superfície possível. Para isso, utilizaremos conceitos de cálculo e otimização.

Seja $x$ a largura, $y$ a profundidade e $h$ a altura da caixa. De acordo com as informações fornecidas:

O volume $V$ da caixa é dado por:

V = x \cdot y \cdot h = 8

A área de superfície $A$ da caixa, sem a tampa, é dada por:

A = x y + 2 x h + 2 y h

Nosso objetivo é minimizar $A$ , utilizando a restrição do volume $V = 8$ .

Podemos expressar $h$ em função de $x$ e $y$ :

h = \frac{8}{x y}

Substituindo $h$ na função da área de superfície:

A = x y + 2 x (\frac{8}{x y}) + 2 y (\frac{8}{x y})

Simplificando:

A = x y + \frac{16}{y} + \frac{16}{x}

Agora, teremos que minimizar $A$ . Para tal, podemos usar o método de derivadas parciais. Vamos encontrar as derivadas parciais de $A$ em relação a $x$ e $y$ .

Derivada parcial em relação a $x$ :

\frac{\partial A}{\partial x} = y - \frac{16}{x^{2}}

Igualando a zero:

y - \frac{16}{x^{2}} = 0 \Rightarrow y = \frac{16}{x^{2}}

Derivada parcial em relação a $y$ :

\frac{\partial A}{\partial y} = x - \frac{16}{y^{2}}

Igualando a zero:

x - \frac{16}{y^{2}} = 0 \Rightarrow x = \frac{16}{y^{2}}

Agora, temos um sistema de duas equações:

$y = \frac{16}{x^{2}}$
$x = \frac{16}{y^{2}}$

Substituindo a primeira na segunda:

x = \frac{16}{{(\frac{16}{x^{2}})}^{2}} \Rightarrow x = \frac{16 x^{4}}{256} \Rightarrow 256 x = 16 x^{4} \Rightarrow 16 x^{4} - 256 x = 0

Fatorando:

16 x (x^{3} - 16) = 0

As soluções são $x = 0$ ou $x^{3} = 16$ . Então:

x = 2

Substituindo $x = 2$ na equação $y = \frac{16}{x^{2}}$ :

y = \frac{16}{2^{2}} = \frac{16}{4} = 4

Agora podemos encontrar $h$ :

h = \frac{8}{x y} = \frac{8}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1

Portanto, as dimensões ideais da caixa que minimizam a área de superfície, mantendo o volume de 8 m³, são:

x = 2, y = 4, h = 1

Por fim, essas dimensões não correspondem ao seu resultado mencionado (2,52; 2,52; 1,26 m). Parece que pode haver um erro no seu resultado ou na interpretação.

Caso você queira explorar outras combinações ou saber o motivo da diferença, por favor, me avise!

Carlos R. · Answer

Oi DanielImagine uma caixa quadrangular com base x, y e altura z.Sendo assim temos:Volume da caixaV = x*y*z = 8 z = 8/(x*y) Eq. 1&Aacute;rea Superficial TotalS = xy + 2yz + 2xz Eq. 2Substituindo Eq 1 em 2, temos:S = xy + 16/x + 16/y (condi&ccedil;&otilde;es x>0; y>0 e z>0)Como queremos a superf&iacute;cie m&iacute;nima deveremos derivar a fun&ccedil;&atilde;o S em fun&ccedil;&atilde;o de x e a seguir de y.DS/Dx = y - 16/x&sup2; --> y - 16/x&sup2; = 0 --> x&sup2;y = 16 Eq. 3DS/Dy = x - 16/y&sup2; --> x - 16/y&sup2; = 0 --> xy&sup2; = 16 Eq. 4Perceba que Eq. 3 menos a Eq. 4 &eacute; zero, sendo assim temos:x&sup2;y - xy&sup2; = 0xy(x - y) = 0 Eq. 51&ordf; Hip&oacute;tese xy =0 (Imposs&iacute;vel, pois teriamos que ter um dos lados igual a zero)2&ordf; Hip&oacute;tese x = y (OK!) Eq.6Substitu&iacute;do Eq. 6 em Eq. 3 temos:x&sup2;*x = x&sup3; = 16x = &sup3;V16 = 2,52mAnalogamente temos: y = &sup3;V16 = 2,52mPor fim temos z da Eq. 1:z = 8/(x*y) z = 8/(2,52*2,52)z = 1,26m Um grande abra&ccedil;o,

Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 8m³ e com a menor área de superfície possível? (R: 2,52; 2,52; 1,26m)

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