Questões sobre integrais

Question

Se possível, justique ao máximo e o necessário, desde já, muito obrigado!

1) Mostre que G(x) = x ln x − x é uma primitiva de g(x) = ln x.

2) Considere a função G(x) = sen(kx)/k e mostre que ∫cos(kx)dx = sen(kx)/k + C, com C ∈ R.

3) Determine a função f que satisfaz as seguintes condições do problema de valor inicial (P.V.I) tal que
f'(x) = 3x² e f(0) = 2.

Pedro B. · Accepted Answer

Olá Levi, boa noite.

Para que possamos resolver a questão 3, deveremos primeiramente integrar a equação dada, como se segue:

f'(x)=3x^2

Int(3x^2)=3x^3/3=x^3+c

Em seguida, deveremos aplicar a segunda condição (f(0)=2), à integral obtida, conforme será mostrado abaixo:

f(0)=(0)^3+c=2

c=2

Equação da primitiva com o PVI, será:

x^3+2

Espero ter sido esclarecedor, qualquer dificuldade estou à disposição. Obrigado e até mais.

André L. · Answer

1) G(x) é uma primitiva. Se derivarmos, G(x)'=g(x)

Desta forma:

onde primeiro termo é a derivada de um produto: (v.u)'=v'u+vu'. Desta forma, continuando.

2)

G(x) neste problema é uma das primigivas de cos(kx). Portanto, integrando-se cos(kx) obtém-se as possíveis primitivas.

Esta integral é feita por substituição:

Desta forma:

Onde a constante é real e no nosso caso, para chegar à primitiva proposta C=0

e desta forma G(x) = sen(kx)/k é a primitiva g(x) = cos(kx).

3) Para definir f(x) nesta quetão basta integrar a derivada.

como f(0)=2

então: C=2

e portanto:

Satisfazendo desta forma as condições do problema: