Regra da cadeia

Olá Sampaio A regra da cadeia afirma que dada uma função composta, como por exemplo u(x) = f(g(x)), onde g(x) é uma função arbitrária de x. A derivada de u(x) com relação a x então será du/dx = (df/dg)(dg/dx) ................................................................................(1) Quando há mais de uma variável, u = f(x,y,z), onde x = g(t), y = h(t) e z = k(t), a regra se dá da seguinte forma du/dt = (df/dx)(dx/dt) + (df/dy)(dy/dt) + (df/dz)(dz/dt) ...................(2) Mas no caso em que u = f(x,y,z), onde x = g(r,s,t), x = h(r,s,t) e x = k(r,s,t), só é possível tomar a derivada parcial em cada direção, ou seja Du/Dr = (Df/Dx)(Dx/Dr) + (Df/Dy)(Dy/Dr) + (Df/Dz)(Dz/Dr)..........(3) Du/Ds = (Df/Dx)(Dx/Ds) + (Df/Dy)(Dy/Ds) + (Df/Dz)(Dz/Ds)........(4) Du/Dt = (Df/Dx)(Dx/Dt) + (Df/Dy)(Dy/Dt) + (Df/Dz)(Dz/Dt)..........(5) onde o "D" significa derivada parcial. Espero que ajude Bons estudos!

Olá Sampaio, como vai? Nesses exercícios eu supus que a variáveis são o "s" e o "t" e que "r" é constante. Esses exercícios pedem que você aplique a regra da cadeia, que é: d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))g'(x) ou de outra forma: a derivada da função composta f com g [f(g(x))] é a derivada de f calculada em g(x) vezes a derivada de g. O truque aqui é usar a regra da cadeia diversas vezes. d/dx(ln x) = 1/x. d/dx(x^(1/2)) = 1/2x^(-1/2) = 1/(2(x)^(1/2)). d/dx(re^s) = re^s. d/dx(re^(-s)) = -re^(-s) No exercício A será necessário usar a regra da cadeia no ln, na raiz e no quadrado. Cada * é uma regra da cadeia: du/ds = d/ds(ln(x^2 + y^2)^(1/2)) = 1/(re^(s) + re^(-s))^(1/2)) * 1/2(re^(s) + re^(-s))^(1/2) * 2(re^(s) + re^(-s)) * (re^(s) - re^(-s)). Simplificando, du/ds = re^(s) - re^(-s) Esse exercício é mais simples, você só precisa se lembrar da derivada da multiplicação. d/dx(cosx) = - senx. d/dx(senx) = cosx. d/dx(cosx*senx) = cos²x - sen²x = 1 - 2sen²x du/dt = d/dt(r²cost + r²sent + r²cost*sent) = -r²sent + r²cost + r²(1 - 2sen²t) du/dt = r²(1 + cost - sent - 2sen²t) Esperto ter ajudado, Abraços, Rodrigo Queiroz.