Sabendo que um plano possui equação vetorial P = (0,1,2) + (3,1,2)t + (1,2,1)s, determine a equação geral deste plano.

A partir da equação vetorial podemos afirmar que (3,1,2) e (1,2,1) são vetores do plano. Logo o produto vetorial destes dois vetores produzirá um vetor normal ao plano. i j k 3 1 2 = -3i -j +5k, ou seja, o vetor (-3,-1,5) é normal ao plano. 1 2 1 Também sabemos que (0,1,2) é um ponto do plano. Tomando (x,y,z) como representação genérica de um ponto do plano podemos dizer que o vetor (x,y,z) - (0,1,2) = (x,y-1,z-2) pertence ao plano. Este vetor pertencente ao plano e o vetor normal são ortogonais. Logo, (x,y-1,z-2).(-3,-1,5)=0 -3x-y+1+5z-10=0 E então a equação geral do plano será -3x-y+5z-9=0.

Olá Claudia, Para resolver esse exercício é necessário conhecer duas formas de representar um plano. A primeira é com dois vetores coplanares ao plano (mas não entre si) e um ponto e a segunda com um ponto e um vetor normal ao plano (um vetor normal ao plano é perpendicular a ele). Quando são utilizados dois vetores coplanares, chamamos de equação vetorial pois o plano é construído pela combinação linear dos dois vetores e quando se utiliza um vetor normal chamamos de equação geral, sendo que é utilizado a propriedade de que um produto escalar entre dois vetores normais é igual a zero. Pelo enunciado sabe-se que o ponto A = (0, 1, 2) está contido no plano, bem como os vetores u =(3, 1, 2) e v = (1, 2, 1). Para passarmos da equação vetorial para a equação geral é necessário um vetor normal ao plano e um ponto contido nele (que já temos). O produto vetorial entre dois vetores u e v é um terceiro vetor n normal a eles, então: n = u x v n = (3, 1, 2) x (1, 2, 1) n = ((1-4), -(3-2), (6-1)) n = (-3, -1, 5) Já que o ponto A está contido no plano, todo o vetor AB estará contido no plano, se o ponto genérico B(x, y, z) também estiver. Com isso podemos escrever o vetor AB como: (0-x, 1-y, 2-z) e podemos usar a propriedade de produto escalar mencionada acima para garantir que o ponto genérico B esteja contido no plano: n . AB = 0 (-3, -1, 5) . (0-x, 1-y, 2-z) = 0 (-3)(-x) + (-1)(1-y) + (5)(2-z) = 0 3x - 1 + y + 10 - 5z = 0 3x + y - 5z + 9 = 0, que é uma equação geral deste plano. Note que se n é normal ao plano -n também é e, portanto, -3x - y + 5z -9 = 0 também é uma equação geral. Abraço, Rodrigo Queiroz