Para calcular o comprimento da mediana relativa ao lado no triângulo com vértices (A(4,-1,-2)), (B(2,5,-6)) e (C(1,-1,2)), siga estes passos:
O ponto médio de um segmento com extremidades (A(x_1, y_1, z_1)) e (B(x_2, y_2, z_2)) é dado por:
Para os pontos (A(4,-1,-2)) e (B(2,5,-6)):
A mediana vai do vértice ao ponto médio , então precisamos calcular a distância entre (C(1,-1,2)) e (M(3, 2, -4)).
A fórmula para a distância entre dois pontos (C(x_1, y_1, z_1)) e (M(x_2, y_2, z_2)) é:
Calculando a distância :
Portanto, o comprimento da mediana relativa ao lado é unidades.
Dados dois pontos P e Q em um espaço tridimensional, temos que a medida do segmento PQ é igual a raiz{(x_p-x_q )^2+(y_p-y_q )^2 (z_p-z_q )^2 )}
Assim,
Medida do segmento AB é igual a raiz{(4-2)^2+(-1-5)^2+(-2+6)^2}=raiz56.
Medida do segmento AC é igual a raiz{(4-1)^2+(-1+1)^2+(-2+2)^2}=3.
Medida do segmento BC é igual a raiz{(2-1)^2+(5+1)^2+(-6+2)^2}=raiz53.
Segundo o Teorema de Stewart:
m=raiz{(2. a^2+2. b^2-c^2)/4}
Sendo m a medida da mediana referente ao lado c\equiv AB.
Logo,
a=raiz56
b=3
c=raiz53
m=raiz{[2. (raiz56)^2+2. (3)^2-(raiz53)^2]/4}=raiz{77/2}
Bom dia!
A mediana de um triângulo é um segmento que une um de seus vértices ao ponto médio do lado oposto a esse vértice. Nesse caso o vértice é o C e o lado oposto é o lado AB.
Por isso então, primeiro vamos encontrar o ponto médio entre A e B através da fórmula:
M = ((xA+xB)/2, (yA + yB)/2, (zA + zB)/2)
M = ((4 + 2)/2, (-1 + 5)/2, (-2 + (-6))/2)
M = (6/2, 4/2, -8/2)
M = (3, 2, -4)
Em seguida encontrar a distância desse ponto médio ao ponto C pela fórmula:
d MC = Raíz ( (xM-xC)² + (yM - yC)² + (zM - zC)²) Podendo também inverter a ordem dentro dos parênteses, pois quando eleva ao quadrado vai ficar positivo de qualquer forma.
d MC = Raíz ( (3 - 1)² + (2 - (-1))² + (-4 - 2)²)
d MC = Raíz ( 2² + (2 +1))² + (-6)²)
d MC = Raíz ( 2² + (3))² + (-6)²)
d MC = Raíz ( 4 + 9 + 36)
d MC = Raíz ( 49)
d MC = 7
É bom você fazer o desenho do triângulo em questão para ficar mais fácil resolver o exercício.
Espero ter ajudado.
Dê uma olhada na resolução do colega Professor Pablo. Eu posso ter usado uma outra teoria. Mas, essa procura aprimora o conhecimento.
Aulas particulares
