Um conjunto de números naturais possui as seguintes regras:

Para determinar os números que pertencem ao conjunto descrito, precisamos encontrar aqueles que satisfazem as duas condições de congruência simultaneamente.

1. Condições dadas:
2. $x\equiv 3\left(\mathrm{mod}36\right)$
3. $x\equiv 3\left(\mathrm{mod}81\right)$

Essas duas condições implicam que todo número $x$ no conjunto deve ser tal que:

e

Na prática, podemos combinar essas condições usando o mínimo múltiplo comum (MMC) de 36 e 81.

Calculando o MMC:

• Fatoração de 36: $36=2^2\times 3^2$
• Fatoração de 81: $81=3^4$

O MMC é dado por $2^2\times 3^4=2^2\times 81=324$.

Assim, podemos afirmar que qualquer número $x$ que satisfaça ambas as condições é da forma:

1. Encontrar os valores de $x$ menores que 1000:
   $$324k+3<1000$$

O maior valor inteiro para $k$ é 3. Portanto, $k$ pode ser 0, 1, 2 ou 3.

Calculando os valores de $x$ para cada $k$: - Para $k=0$: $x=324\times 0+3=3$ - Para $k=1$: $x=324\times 1+3=327$ - Para $k=2$: $x=324\times 2+3=651$ - Para $k=3$: $x=324\times 3+3=975$

Os números no conjunto são 3, 327, 651, e 975.

1. Soma dos algarismos:
2. $3$: Soma dos algarismos = $3$
3. $327$: Soma dos algarismos = $3+2+7=12$
4. $651$: Soma dos algarismos = $6+5+1=12$
5. $975$: Soma dos algarismos = $9+7+5=21$

Finalmente, a soma dos algarismos de todos os elementos no conjunto é:

Portanto, a soma dos algarismos de todos os elementos do conjunto é $\boxed{48}$.