Uma piscina tem 20 ft de largura, 40 ft de compriment,o 9 ft

Para entender a resolução dada, é importante saber que a seção transversal da piscina pode ser modelada como um trapézio com uma base maior, uma base menor e duas alturas diferentes, no lado raso e no lado profundo. O objetivo do problema é calcular como a altura da água $h(t)$, que é a profundidade da água no lado mais profundo, varia ao longo do tempo.

Análise da Piscina

1. Dimensões e Geometria:
2. A piscina tem um comprimento de 40 pés e uma largura de 20 pés (esta largura é a mesma em todo o comprimento da piscina).

3. A profundidade varia de 3 pés a 9 pés ao longo dessa largura.

4. Seção Transversal:

5. Consiste de duas partes triangulares e uma parte retangular no meio, formando um trapézio.

6. Semelhança de Triângulos:

7. Quando a altura $h$ está abaixo de 6 pés:
   • Um triângulo pequeno está formado na seção mais rasa da piscina.
   • $x$ representa um segmento base desse triângulo.
   • Usando semelhança de triângulos:
   • $\frac{6}{6}=\frac{x}{h}\to x=h$.

8. Para determinar a base maior $B$ do trapézio:

   • Usando semelhança de triângulos novamente:
   • $\frac{16}{6}=\frac{B-x-12}{h}\to B-x-12=\frac{16h}{6}$.
   • Substituindo $x=h$ na equação, temos: $$B-h-12=\frac{8h}{3}\to B=\frac{8h}{3}+h+12=\frac{11h}{3}+12$$

9. Área e Volume:

10. A área do trapézio em função de $h$ é (\frac{(12 + B)h}{2}).

11. O volume em função do tempo é, então, $V(t)=20\times \frac{(12+B)h}{2}=10(12+B)h$.

12. Diferenciação e Substituição:

13. Por fim, substitua o valor de $B$ na equação do volume:
    $$V(t)=10(12+\frac{11h}{3}+12)h=240h+\frac{110h^2}{3}$$

14. Derive a equação em relação ao tempo $t$ para obter a taxa de mudança do volume:
    $$\frac{dV}{dt}=240\frac{dh}{dt}+\frac{220h}{3}\frac{dh}{dt}$$

15. Com $dV/dt=0.8$ ft³/min e $h=5$ ft, substitua para encontrar:
    $$0.8=240\frac{dh}{dt}+\frac{220\times 5}{3}\frac{dh}{dt}$$

16. Encontre $\frac{dh}{dt}$ para obter a taxa de mudança da altura da água.

Esse processo mostra o papel da semelhança de triângulos, que ajuda a expressar diferentes partes da geometria em função de uma variável comum, permitindo calcular a variação do nível de água.