verificar se a série (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^n}) con

Para verificar se a série ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{3}{2^n}$ converge ou diverge, observe que esta é uma série geométrica. Uma série geométrica de forma geral é

onde $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão comum. No caso desta série, podemos reescrevê-la como:

Observe que a série geométrica está começando no termo $n=1$ em vez de $n=0$, mas isso não afeta a convergência. Em uma série geométrica ${\sum }_{n=0}^{\infty }a{r}^n$, a condição para a convergência é que $|r|<1$.

Aqui, a razão $r$ é $\frac{1}{2}$, que satisfaz $|r|=\frac{1}{2}<1$. Logo, a série converge.

Além disso, a soma de uma série geométrica ${\sum }_{n=0}^{\infty }a{r}^n$, caso convergente, é dada por:

Para a série (\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n), podemos calcular a soma usando o fato de que (\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2), então:

Portanto, a soma da série original é:

Assim, a série ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{3}{2^n}$ converge, e sua soma é $3$.