Calcule o volume da região sólida limitada abaixo do plano z = 0, lateralmente pelo cilindro x^2+y^2 =1 e acima do paraboloide z=x^2 +y^2
Se é ponto da região, ele deve satisfazer
(*) por estar abaixo do plano
e
por estar acima do paraboloide em questão. Mas a última desigualdade implica
, contradizendo (*).
O enunciado está correto?
Edit.: Como o Prof. Arquimedes M. muito bem observou, a interpretação correta é que a região está limitada abaixo pelo plano, lateralmente pelo cilindro e limitada acima pelo paraboloide.
Boa tarde!
A interseção entre o paraboloide e o cilindro é o plano z=1 ( só é igualar as equações). Nessa região x2+y2 <z< 1(está acima do paraboloide a abaixo do plano. A projeção no plano xy é a circunferência de raio 1. Em coordenadas cilíndricas fica integral tripla de rdzdrdteta :
Onde z vai de r2 a 1 ( porque vai de x2+y2 a 1 e x2+y2 é r2);
r vai de 0 a 1 (a distância em relação a origem varia de 0 a 1 na circunferência) ;
Teta vai de 0 a 2?( circunferência completa);
Então:
Fica integral tripla de rdzdrdteta , resolvendo integral de rdz fica rz onde z vai de r2 a 1 então fica r(1-r2)= r-r3;
Integrando em dr de fica r2/2 -r4/4 onde r vai de 0 a 1, então: 1/2-1/4=1/4;
Integrando em dteta fica teta/4 , que de 0 a 2?, dá 2?/4= ?/2.
Obs.: Pode fazer integral dupla:
Ficaria, nesse caso integral dupla de (1 -r2) rdrdteta (porque é o volume acima do paraboloide e abaixo do plano z=1 e nesse caso, fiz em coordenadas polares),onde o raciocínio seria o mesmo.
Obs2.: O que o professor Lucas falou faz sentido, não tem como ser o limitada abaixo do plano e sim limitado abaixo pelo plano, demorei para responder porque considerei que tinha esses erro de digitação!
Obrigado pela atenção!
DEUS abençoe!
Att,
Arquimedes
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