Volume da regiao

 

Calcule o volume da região sólida limitada abaixo do plano z = 0, lateralmente pelo cilindro x^2+y^2 =1 e acima do paraboloide z=x^2 +y^2

Darck F.
Darck
perguntou há 1 mês

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Professor Lucas G.
Respondeu há 1 mês

Se P = (a, b, c) é ponto da região, ele deve satisfazer c < 0 (*) por estar abaixo do plano z = 0 e c > a^2 + b^2 por estar acima do paraboloide em questão. Mas a última desigualdade implica c > 0, contradizendo (*). 
O enunciado está correto?

Edit.: Como o Prof. Arquimedes M. muito bem observou, a interpretação correta é que a região está limitada abaixo pelo plano, lateralmente pelo cilindro e limitada acima pelo paraboloide. 

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Professor Arquimedes M.
Respondeu há 1 mês

Boa tarde!

A interseção entre o paraboloide e o cilindro é o plano z=1 ( só é igualar as equações). Nessa região x2+y2 <z< 1(está acima do paraboloide a abaixo do plano. A projeção no plano xy é a circunferência de raio 1. Em coordenadas cilíndricas fica integral tripla de rdzdrdteta :

Onde z vai de r2 a 1 ( porque vai de x2+y2 a 1 e x2+y2 é r2);

r vai de 0 a 1 (a distância em relação a origem varia de 0 a 1 na circunferência) ;

 

Teta vai de 0 a 2?( circunferência completa);

Então:

Fica integral tripla de rdzdrdteta , resolvendo integral de rdz fica rz onde z vai de r2 a 1 então fica r(1-r2)= r-r3;

Integrando em dr de fica r2/2 -r4/4 onde r vai de 0 a 1, então: 1/2-1/4=1/4;

Integrando em dteta fica teta/4 , que de 0 a 2?, dá 2?/4= ?/2.

 

 

Obs.: Pode fazer integral dupla:

Ficaria, nesse caso integral dupla de (1 -r2) rdrdteta (porque é o volume acima do paraboloide e abaixo do plano z=1 e nesse caso, fiz em coordenadas polares),onde o raciocínio seria o mesmo.

 

Obs2.: O que o professor Lucas falou faz sentido, não tem como ser o limitada abaixo do plano e sim limitado abaixo pelo plano, demorei para responder porque considerei que tinha esses erro de digitação!

 

Obrigado pela atenção!

DEUS abençoe!

Att,

Arquimedes

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