Volume de sólido de revolução (método de disco e arruela)

Question

EX1) Maria quer armazenar água para o período da seca. Preocupada com a situação, construiu diversos vasilhames. Um dos vasilhames foi obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pela curva de , e pelas retas   e  = 30, como mostra a figura abaixo.  Considere x e y em metros.    Qual  o volume, em m³,  de água que Maria poderá estocar nesse vasilhame?   EX2) Em uma indústria foi produzida por um ferramenteiro uma peça metálica maciça que corresponde ao sólido gerado pela revolução da região limitada pela curva da função  e pelas retas y = 0 e x = 20 , em torno do eixo x. Considere x e y em centímetros.  Sendo assim,  qual o volume dessa peça, em cm³?   Obs: Gostaria de saber o passo a passo de como resolver esses tipos de problemas envolvendo ''volume de sólido de revolução'' com integrais. Desde já, muito obrigado!

Marcus V. · Accepted Answer

Ola Lourival

No primeiro caso, imagine que o volume possa ser calculado pensando no solido de revolução com composto de uma porção de cilindros fininhos sobrepostos, de espessura dy e raio que vai do eixo y até a curva dada, que no caso é o valor de x. Uma vez que a área do cilindro é area da base vezes altura, você terrá uma integral na forma:

$\int\limits_{0}^{30} \pi x^2 dy$ = $\pi \int\limits_{0}^{30} 2ydy =$ $\pi y|_{0}^{30}$ = $900 \pi$

No segundo caso, voce pode imaginar oumm processo semelhante ao primeiro, agora com uma porção de cilindros fininhos empilhados, agora com um buraco no meio. O calculo é parecido, aqui voce tem que subtrair um volume de $\pi x^2 dy$ do cilindro de $\pi (20)^2 dy$ e depois fazer a integração. Voce precisa tambem o valor de y quando x=20.

$20 = y^{2/3}$ -> $y = 20 \sqrt(20)$

O volume de revolução será

$\int \pi (20^2 - x^2)dy = \int \pi 20^2 dy - \int \pi x^2dy$

Calculando cada termo temos:

$\int\limits_{0}^{20^{2/3} } \pi x^2 dy$ = $\int\limits_{0}^{20^{2/3} } \pi y^{1/3} dy$ = $\pi \frac{3}{4} y^{4/3} |_{0}^{20^{3/2}}$ = $\frac{3 \pi}{ 4 }400$ = $300 \pi$

$\int\limits_{0}^{20^{3/2}} \pi 20^2 dy$ = $\pi 20^2 * 20^{3/2} = \pi 20^{7/2}$

Agora é so subtrai um do outro calcular o volme:

$V = \pi (20^{7/2} - 300)$

Abraço e bons estudos

Volume de sólido de revolução (método de disco e arruela)

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