Física computacional

Olá carla, boa noite.

Essa me parece ser uma questão sobre transformações canônicas em Mecânica Hamiltoniana. Acho que ficaria um longo conversar por aqui, mas a ideia seria mais ou menos a seguinte:

1. da sua Lagrangeana inicial  aplique a transformada de Legendre para obter a Hamiltoniana
2. de outro lado, use a sua transformação canônica e a transformada de Legendre inversa para obter uma Lagrangiana nas novas variáveis
3. por definição, uma transformação no espaço de fase é canônica se ela preserva a dinânica Hamiltonia e, portanto, as equações de Hamilton. Como consequência, ela também deve preservar as equações de Euler-Lagrange das correspondentes Larangeana obtida via trasformada de Legendre.
4. Assim,  e   devem ter as mesmas equações de movimento. Isso cria uma equação que vincula com permitindo escrever e .
5. Substitua as expressoes  e  na Lagrangeana  para escrevê-la nas novas variáveis
6. Use a transformada de Legrende pra escrever a Hamiltoniana  nas novas variáveis.

Espero ter sido útil, Carla!

Bons estudos.

Observação: Seria muito mais fácil ter dito que o espaço de fase admite uma estrutura simplética canônica (por ser o fibrado cotangente da variedade configuracional) e que uma transformação canônica nada mais é um simplectomorfismo. Essa é a descrição da dinâmica Hamiltoniana em termos da geometria simplética. É uma nova linguagem que simplifica muitas coisas e torna tudo muito mais claro e natural. Possuo doutorado em Matemática e graduação em Física: geometria diferencial é uma das minhas áreas de atuação. Se quiser, posso lhe ajudar a ter uma visão mais ampla, formal e unificada do assunto ou de qualquer outro tema de seu interesse/curiosidade.

Um abraço,

Yuri.

Nessa sessão respondemos a dúvidas pontuais.