Utilize o método simplex para resolver o problema abaixo: M

Para resolver o problema de programação linear utilizando o método simplex e, em seguida, construir e resolver o problema dual, siga os passos abaixo. Vamos primeiro focar no problema primal:

Problema Primal

Função Objetivo:

Maximizar $Z=9X_1+8X_2+5X_3$

Restrições:

1. $2X_1+3X_2+X_3\le 4$
2. $5X_1+4X_2+3X_3\le 11$
3. $X_1,X_2,X_3\ge 0$

Para resolver usando o método simplex, primeiro precisamos converter as restrições de desigualdade em equações de igualdade usando variáveis de folga $S_1$ e $S_2$. As equações se tornam:

1. $2X_1+3X_2+X_3+S_1=4$
2. $5X_1+4X_2+3X_3+S_2=11$
3. $X_1,X_2,X_3,S_1,S_2\ge 0$

O problema de maximização agora é reescrito como:

Maximizar $Z=9X_1+8X_2+5X_3+0S_1+0S_2$

Método Simplex

Construa a tabela inicial (a chamada tabela simples):

Você procede com o método simplex de iteração. O pivotamento será feito de acordo com as regras do método até que não seja mais possível aumentar $Z$.

Problema Dual

Se o problema primal é uma maximização, seu dual será uma minimização. Vamos construir o dual do problema:

Problema Dual

Função Objetivo:

Minimizar $W=4Y_1+11Y_2$

Restrições:

1. $2Y_1+5Y_2\ge 9$
2. $3Y_1+4Y_2\ge 8$
3. $Y_1+3Y_2\ge 5$
4. $Y_1,Y_2\ge 0$

É importante notar que cada variável de folga no primal corresponde a uma restrição no dual, e vice-versa. A matriz de coeficientes das restrições do primal se torna a matriz de coeficientes da função objetivo do dual, e vice-versa.

A partir daqui, você aplicaria o método simplex ao problema dual de forma análoga ao problema primal.

Para a resolução completa utilizando o método simplex de ambos os problemas, seria necessário iterar através das tabelas simplex, pivotando conforme necessário, até que a solução ideal seja encontrada. Esse processo é iterativo e requer checar as condições de otimalidade em cada passo.