1. Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem

Question

1. Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função: f（3）=ゼリ+202-38 UFCAT 2. Dada a função f(x, y, z) = In(xy + 2), encontre as seguintes derivadas: fr,fu:f： Em seguida, calcule as derivadas mistas: fry, fyz, fax 3. Seja f（2,3） =et'ty， Calcule： frefy Depois, encontre as derivadas de segunda ordem fax, Juy, fxy e discuta se fry = fyx. 4. Dada a função f(x, y, z) = x?y + yz + xsin z, calcule as seguintes derivadas parciais: E depois, determine as derivadas mistas: faz, Jus, fry 5. Para a função f(x, y) = 1 +y? x-y, calcule: fa e fy Em seguida, determine as derivadas parciais de segunda ordem faz e fuy, e comente sobre o comportamento dessas derivadas.

Profes A. · Accepted Answer

Vamos resolver uma a uma as questões propostas.

1. Derivadas parciais da função $f (x, y) = x^{2} + 20 y - 38$

Derivadas parciais de primeira ordem:

$f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x$
$f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} = 20$

Derivadas parciais de segunda ordem:

$f_{x x} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 2$
$f_{y y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 0$
$f_{x y} = f_{y x} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = 0$

2. Derivadas parciais da função $f (x, y, z) = \ln (x y + 2)$

Derivadas de primeira ordem:

$f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{x y + 2}$
$f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{x y + 2}$
$f_{z} = \frac{\partial f}{\partial z} = 0$ (já que não há $z$ na expressão)

Derivadas mistas:

( f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{xy + 2}\right) = \frac{(xy + 2)(1) - y(x)}{(xy + 2)^2} = \frac{2}{(xy + 2)^2} )
$f_{y x} = f_{x y} = \frac{2}{(x y + 2)^{2}}$
$f_{y z} = 0$
$f_{z x} = 0$
$f_{z y} = 0$

3. Dada a função $f (2, 3) = e^{2 t} \cdot t y$

Cálculo de $f_{x y}$ : - Como a função não é explícita em $x$ , $f_{x} = 0$ - Para $f_{y} = e^{2 t} \cdot t$

Derivadas de segunda ordem: - $f_{x x} = 0$ - $f_{y y} = 0$ - $f_{x y} = f_{y x} = 0$

Discussão: - $f_{x y} = f_{y x} = 0$ mostram que as derivadas mistas são iguais, representando uma função com comportamento constante em relação a $x$ e $y$ .

4. Dada a função $f (x, y, z) = x^{2} y + y z + x \sin (z)$

Derivadas parciais de primeira ordem:

$f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + \sin (z)$
$f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + z$
$f_{z} = \frac{\partial f}{\partial z} = y + x \cos (z)$

Derivadas mistas:

$f_{x y} = \frac{\partial}{\partial y} (2 x y + \sin (z)) = 2 x$
$f_{x z} = \frac{\partial}{\partial z} (2 x y + \sin (z)) = \cos (z)$
$f_{y z} = \frac{\partial}{\partial z} (x^{2} + z) = 1$

5. Para a função $f (x, y) = 1 + y^{2} x - y$

Derivadas parciais de primeira ordem:

$f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = y^{2}$
$f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} = 2 y x - 1$

Derivadas parciais de segunda ordem:

$f_{x x} = 0$
$f_{y y} = 2 x$
$f_{x y} = 2 y$
$f_{y x} = 2 y$

Comentando o comportamento das derivadas: - As derivadas misturadas $f_{x y}$ e $f_{y x}$ são iguais, o que está de acordo com o teorema de Schwarz, que impõe a igualdade das segundas derivadas mistas quando são contínuas.

Espero que essas resoluções atendam às suas necessidades! Se precisar de mais alguma coisa, fique à vontade para perguntar.

1. Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem

1. Derivadas parciais da função $f (x, y) = x^{2} + 20 y - 38$

2. Derivadas parciais da função $f (x, y, z) = \ln (x y + 2)$

3. Dada a função $f (2, 3) = e^{2 t} \cdot t y$

4. Dada a função $f (x, y, z) = x^{2} y + y z + x \sin (z)$

5. Para a função $f (x, y) = 1 + y^{2} x - y$

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1. Derivadas parciais da função f(x,y)=x2+20y−38

2. Derivadas parciais da função f(x,y,z)=ln(xy+2)

3. Dada a função f(2,3)=e2t·ty

4. Dada a função f(x,y,z)=x2y+yz+xsin(z)

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4. Dada a função $f (x, y, z) = x^{2} y + y z + x \sin (z)$

5. Para a função $f (x, y) = 1 + y^{2} x - y$