Com os algarismos 1, 2, 3, ..., 9, quantos números de quatro

Para resolver esse problema, primeiro calculamos o número total de números diferentes de quatro algarismos que podemos formar com os algarismos de 1 a 9. Depois, subtraímos o número de números em que todos os algarismos são diferentes para encontrar a quantidade em que pelo menos dois algarismos são iguais.

Passo 1: Total de números de quatro algarismos

Como temos 9 algarismos (1 a 9) e podemos usar qualquer um em qualquer posição, o total de números de quatro algarismos é:

Passo 2: Números em que todos os algarismos são diferentes

Para contar os números em que todos os algarismos são diferentes, selecionamos 4 algarismos distintos dos 9 disponíveis e depois permutamos esses 4 algarismos.

1. Escolha dos 4 algarismos:
   $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=126$$

2. Permutação dos 4 algarismos selecionados:
   $$4!=24$$

Portanto, o número de números de quatro algarismos distintos é:

Passo 3: Números com pelo menos dois algarismos iguais

Agora, subtraímos o número de números com todos os algarismos diferentes do número total de números:

Portanto, há 3.537 números de quatro algarismos, formados pelos dígitos de 1 a 9, em que pelo menos dois algarismos são iguais.