e esta certo eu manter letra minúscula após as aspas?

Sim, está correto manter a letra minúscula após as aspas na frase que você escreveu. Quando a citação ou pergunta termina com uma pontuação (como ponto de interrogação ou de exclamação), e a frase continua, a parte seguinte geralmente começa com letra minúscula. No seu caso, a frase "As respostas que se dão à pergunta 'quem existe?' constituem a parte da ontologia que se chama a metafísica." seguiu essa norma corretamente.

Esse uso é típico do português e formaliza a continuação da ideia sem iniciar uma nova frase. Portanto, a sua escolha está absolutamente certa. Se você tiver mais perguntas ou precisar de mais esclarecimentos, fico à disposição!