Exercício 1. Um tanque contém inicialmente 10.000 litros de

Para resolver esse problema, utilizamos um modelo de equações diferenciais. Denotamos por $Q(t)$ a quantidade de sal em quilogramas no tanque no tempo $t$.

a) Determinar a quantidade de sal no instante $t$.

Entrada e saída de sal no tanque:

• Entrada: A solução que entra no tanque tem uma concentração de 200 g/L, ou 0,2 kg/L, e está entrando a uma taxa de 10 L/min. Portanto, a taxa de entrada de sal é:
  $$0,2\text{kg/L}\times 10\text{L/min}=2\text{kg/min}$$

• Saída: A solução no tanque está bem misturada, e portanto uniforme. O volume do tanque é constante em 10.000 L, e sai à taxa de 10 L/min. Assim, a concentração de sal na saída é $\frac{Q(t)}{10000}\text{kg/L}$, e a taxa de saída de sal é:
  $$\frac{Q(t)}{10000}\text{kg/L}\times 10\text{L/min}=\frac{Q(t)}{1000}\text{kg/min}$$

Equação diferencial:

A variação da quantidade de sal no tanque é a diferença entre as taxas de entrada e de saída:

Resolvendo a equação diferencial:

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos resolvê-la utilizando o fator integrante.

1. Reescrevemos a equação:
   $$\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{1000}Q=2$$

2. O fator integrante é $e^{\int \frac{1}{1000}dt}=e^{t/1000}$.

3. Multiplicando a equação inteira pelo fator integrante:
   $$e^{t/1000}\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{1000}{e}^{t/1000}Q=2e^{t/1000}$$

4. Isso é equivalente a:
   $$\frac{d}{dt}(e^{t/1000}Q)=2e^{t/1000}$$

5. Integrando ambos os lados em relação a $t$:
   $$e^{t/1000}Q=2000e^{t/1000}+C$$

6. Resolvendo para $Q(t)$:
   $$Q(t)=2000+C{e}^{-t/1000}$$

7. Usando a condição inicial $Q(0)=1$ kg:
   $$1=2000+C\Rightarrow C=-1999$$

8. Substituindo $C$ na solução geral:
   $$Q(t)=2000-1999e^{-t/1000}$$

b) A quantidade de sal após 20 minutos.

Para encontrar a quantidade de sal após 20 minutos, substituímos $t=20$ na expressão para $Q(t)$:

Calculando numericamente: - Aproximando $e^{-0.02}\approx 0.9802$

Substituindo e calculando:

Portanto, a quantidade de sal após 20 minutos é aproximadamente $40.402$ kg.