Método de Coeficientes a Determinar: A equação é x ( n + 1

Para resolver a equação de diferença $x(n+1)-x(n)=\sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)$ usando o método de coeficientes a determinar, propomos uma solução particular da forma:

A função (\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)) tem um padrão periódico de valores $0,1,0,-1,\dots$, e (\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)) é $1,0,-1,0,\dots$.

Calculemos $x_p(n+1)$:

Substituímos na diferença:

[ x_p(n+1) - x_p(n) = A\left[\sin\left(\frac{(n+1)\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right] + B\left[\cos\left(\frac{(n+1)\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right]. ]

Precisamos igualar isso a $\sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)$.

Vamos usar as identidades de adição para seno e cosseno:

Com essas, reescrevemos a expressão:

[ A\left[\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right] + B\left[-\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right]. ]

Igualamos isso a (\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)).

Desse modo, temos o sistema de equações para os coeficientes $A$ e $B$:

Para o seno: $-A-B=1$

Para o cosseno: $A-B=0$

Resolvendo o sistema:

Então, $B=-\frac{1}{2}$.

Assim, a solução particular é:

Esta é a solução particular da equação de diferenças dada.