onsidere X como 30. Sejam as retas r e s, paralelas entre s

Para resolver o problema, vamos primeiro determinar a quantidade de pontos nas retas $r$ e $s$, dadas as informações fornecidas.

1. Determinar a quantidade de pontos:
   $$X=30$$

Portanto,
$$(X-10)=30-10=20$$

Há 20 pontos distribuídos entre as duas retas $r$ e $s$. Como a quantidade de pontos sobre $r$ é igual à quantidade de pontos sobre $s$, podemos concluir que:
$$\text{Pontos em r}=\text{Pontos em s}=\frac{20}{2}=10$$

1. Determinar a quantidade de triângulos que podem ser formados: Triângulos são formados escolhendo 3 pontos diferentes. Contudo, como as retas $r$ e $s$ são paralelas, não podemos formar triângulos com apenas pontos em uma única reta. Para que seja possível formar um triângulo, precisamos escolher pelo menos um ponto de cada reta.

Há duas possibilidades para formar triângulos: - 1 ponto de $r$ e 2 pontos de $s$ - 2 pontos de $r$ e 1 ponto de $s$

1. Cálculo das combinações:

2. Caso 1: 1 ponto de $r$ e 2 pontos de $s$:

   • O número de maneiras de escolher 1 ponto de 10 pontos em $r$ é dado por $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)=10$.
   • O número de maneiras de escolher 2 pontos de 10 pontos em $s$ é dado por $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)$: $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=\frac{10·9}{2·1}=45$$
   • Portanto, o número total de triângulos formados nessa configuração é: $$10·45=450$$

3. Caso 2: 2 pontos de $r$ e 1 ponto de $s$:

   • O número de maneiras de escolher 2 pontos de 10 pontos em $r$ é dado por $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$ (conforme calculado anteriormente).
   • O número de maneiras de escolher 1 ponto de 10 pontos em $s$ é dado por $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)=10$.
   • Portanto, o número total de triângulos formados nessa configuração é: $$45·10=450$$

4. Totalizando as combinações: Agora, somamos as regiões dos dois casos para obter o total:

Assim, a quantidade total de triângulos diferentes que podemos construir utilizando como vértices 3 dos pontos é: