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Claro! Vamos resolver cada item:

1. Cálculo do limite

Queremos calcular:

Vamos analisar o limite ao longo de diferentes direções. Por exemplo: - Ao longo de $y=0$:

• Ao longo de $x=0$:

• Ao longo de $y=x^2$:

Dado que o resultado é 0 em diferentes direções, podemos concluir que o limite é:

2. Derivadas parciais de (f(x, y) = \ln(x^2 + y^2))

As derivadas parciais são:

• Para $x$:

• Para $y$:

3. Encontrar $\frac{dh}{dt}$

Dada (h(x,y,z) = x \ln(y) + yz) com:

Calculamos:

Calculando as derivadas: - (\frac{\partial h}{\partial x} = \ln(y)) - $\frac{\partial h}{\partial y}=\frac{x}{y}$ - $\frac{\partial h}{\partial z}=y$

E agora as derivadas em relação a $t$: - $\frac{dx}{dt}=2t$ - $\frac{dy}{dt}=e^t$ - $\frac{dz}{dt}=1$

Substituindo:

Agora, no ponto $t=0$:

4. Gradiente de (f(x, y) = x^3 + 3xy + y^3) no ponto (1,2)

Calculamos as derivadas parciais: - $\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2+3y$ - $\frac{\partial f}{\partial y}=3x+3y^2$

No ponto (1,2):

Assim, o gradiente é:

5. Derivada direcional de (f(x, y) = x^2 + xy) no ponto (2,1) na direção do vetor (u = (3, 4))

Primeiramente, normalizamos $u$:

Calculamos as derivadas parciais: - $\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y$ - $\frac{\partial f}{\partial y}=x$

No ponto (2,1):

A derivada direcional é dada por:

Esses são os resultados para cada um dos itens. Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!