Seja T : R2 → R2 a transformação linear tal que T(v) é a rot

Para encontrar a matriz canônica da transformação linear $T:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ que primeiro rotaciona um vetor em 45 graus no sentido anti-horário e depois reflete respeito ao eixo $x$, precisamos considerar ambas as transformações:

1. Rotação anti-horária de 45 graus:

A matriz que representa uma rotação anti-horária por um ângulo $\theta$ é dada por:
$$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]$$

Para $\theta ={45}^{\circ }$ (ou $\pi /4$ radianos), obtemos:
$$R\left(\frac{\pi }{4}\right)=\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)& -\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\\ \sin \left(\frac{\pi }{4}\right)& \cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$

1. Reflexão em relação ao eixo x:

A matriz de reflexão ao longo do eixo $x$ é:
$$M_x=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$

Para compor essas transformações, multiplicamos as matrizes na ordem em que elas são aplicadas: primeiro a rotação, depois a reflexão. Portanto, a matriz canônica $T$ é dada por:

Fazendo essa multiplicação de matrizes:

Simplificando:

Portanto, a matriz canônica da transformação $T$ é: