Um próton (m = 1.67 × 10−27 kg) acelera num acelerador linea

Para determinar a velocidade do próton, podemos usar a fórmula da energia cinética clássica:

onde $E_k$ é a energia cinética, $m$ é a massa do próton, e $v$ é a velocidade. Sabemos que $E_k=2.0\times {10}^{-7}\text{J}$ e $m=1.67\times {10}^{-27}\text{kg}$.

Podemos rearranjar essa equação para resolver para $v$:

Substituindo os valores conhecidos na equação:

No entanto, este valor parece exceder a velocidade da luz, o que não é possível fisicamente. Isso indica que o regime de velocidades requer uma abordagem relativística. A energia cinética relativística é calculada por:

onde $\gamma$ é o fator de Lorentz dado por:

Ao considerar a energia cinética relativística, se a energia cinética de 2.0 × 10?7 J já estivesse perto do valor relativístico, a velocidade não deve ser maior que a da luz, e o cálculo clássico não seria adequado. O processo exato de encontrar a $v$ adequada requer resolver equações transcendentais e considerar as aproximações corretas para métodos numéricos ou soluções aproximadas, geralmente não triviais sem ferramentas computacionais.

Portanto, a conclusão é que o valor relativístico precisa ser estimado de forma precisa considerando todos os aspectos da relatividade especial quando a energia cinética é significativa em relação ao $m{c}^2$.