Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, re

Vamos resolver as partes da questão uma a uma.

A) Determinar a distribuição conjunta para X e Y

Para calcular a distribuição conjunta de $X$ e $Y$, precisamos considerar os possíveis resultados das retiradas das bolas. Na urna, temos 3 bolas vermelhas (R) e 2 bolas verdes (V). A retirada pode resultar nos seguintes pares (X,Y):

• (0,0): primeira bola verde, segunda bola verde (VV)
• (0,1): primeira bola verde, segunda bola vermelha (VR)
• (1,0): primeira bola vermelha, segunda bola verde (RV)
• (1,1): primeira bola vermelha, segunda bola vermelha (RR)

Vamos calcular as probabilidades associadas a cada resultado:

1. Probabilidade de (P(0,0)) (VV):
2. Primeira bola verde: $P(\text{V})=\frac{2}{5}$
3. Segunda bola verde: $P(\text{V | primeira V})=\frac{1}{4}\backslash )-Portanto:<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="block"><mrow><mi>P</mi><mostretchy="false">\&\#x00028;</mo><mn>0</mn><mo>\&\#x0002C;</mo><mn>0</mn><mostretchy="false">\&\#x00029;</mo><mo>\&\#x0003D;</mo><mi>P</mi><mostretchy="false">\&\#x00028;</mo><mtext>VV</mtext><mostretchy="false">\&\#x00029;</mo><mo>\&\#x0003D;</mo><mi>P</mi><mostretchy="false">\&\#x00028;</mo><mtext>V</mtext><mostretchy="false">\&\#x00029;</mo><mi>\&\#x000B7;</mi><mi>P</mi><mostretchy="false">\&\#x00028;</mo><mtext>V\&\#x000A0;|\&\#x000A0;primeira\&\#x000A0;V</mtext><mostretchy="false">\&\#x00029;</mo><mo>\&\#x0003D;</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac><mi>\&\#x000B7;</mi><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac><mo>\&\#x0003D;</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>20</mn></mrow></mfrac><mo>\&\#x0003D;</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow></mfrac></mrow></math>2.**Probabilidadede\backslash (P(0,1)\backslash )**(VR):-Primeirabolaverde:<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>P</mi><mostretchy="false">\&\#x00028;</mo><mtext>V</mtext><mostretchy="false">\&\#x00029;</mo><mo>\&\#x0003D;</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math>-Segundabolavermelha:\backslash (P(\text{R | primeira V})=\frac{3}{4}$

4. Portanto:
   $$P(0,1)=P(\text{VR})=P(\text{V})·P(\text{R | primeira V})=\frac{2}{5}·\frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

5. Probabilidade de (P(1,0)) (RV):

6. Primeira bola vermelha: $P(\text{R})=\frac{3}{5}$
7. Segunda bola verde: (P(\text{V | primeira R}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2})

8. Portanto:
   $$P(1,0)=P(\text{RV})=P(\text{R})·P(\text{V | primeira R})=\frac{3}{5}·\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$$

9. Probabilidade de (P(1,1)) (RR):

10. Primeira bola vermelha: $P(\text{R})=\frac{3}{5}$
11. Segunda bola vermelha: (P(\text{R | primeira R}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2})
12. Portanto:
    $$P(1,1)=P(\text{RR})=P(\text{R})·P(\text{R | primeira R})=\frac{3}{5}·\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$$

Agora, reunimos esses resultados:

• (P(0,0) = \frac{1}{10})
• (P(0,1) = \frac{3}{10})
• (P(1,0) = \frac{3}{10})
• (P(1,1) = \frac{3}{10})

A distribuição conjunta fica assim:

B) Calcular (E(X)), (E(Y)), (VAR(X)), (VAR(Y))

Cálculo do eixo (E(X)):

Cálculo do eixo (E(Y)):

Cálculo de (VAR(X)):

Cálculo de (VAR(Y)) (de forma análoga):

C) (E(X+Y)) e (VAR(X+Y))

Cálculo de (E(X+Y)):

Cálculo de (VAR(X+Y)):

Agora, usando a fórmula para a variância da soma:

Como as variáveis são independentes entre si no nosso caso, (COV(X,Y) = 0).

Dessa forma:

D) (?(X,Y))

O coeficiente de correlação é dado por:

Como (COV(X,Y) = 0):

Em resumo, temos os seguintes resultados: - Distribuição conjunta: - (P(0,0) = \frac{1}{10}, P(0,1) = \frac{3}{10}, P(1,0) = \frac{3}{10}, P(1,1) = \frac{3}{10}) - (E(X) = E(Y) = 0.6) - (VAR(X) = VAR(Y) = 0.24) - (E(X+Y) = 1.2) - (VAR(X+Y) = 0.48) - (?(X,Y) = 0)

Se você tiver mais perguntas ou precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!