1. Encontre, quando for o caso, centro, vértice, foco, diretriz, excentricidade, assíntotas, da cônica resultante da intersecção do parabolóide hiperbólico z^2/4 - x^2/9 = y/3 com o plano x = 1. Esboce a cônica.
Olá Carlos,
Na intersecção com o plano, x =1:
z²/4 - 1/9 = y/3 -> y = 3z²/4 - 1/3 (concavidade para cima)
Vemos então que a cônica é uma parábola. a = 3/4, b = 0, c = -1/3
Vértice da parábola: y = -Delta/4a, onde Delta = b²-4ac = 1
logo, vértice: y = -1/3, x=1 (plano) e z = ? Veja: -1/3 = 3z²/4 - 1/3 -> z = 0
Vértice: x = 1, y = -1/3, z = 0.
Foco da párabola: observe que z²/4 - y/3- 1/9 = 0 -> z² = 2* 2/3 * (y + 1/3). Lembrando que z² = 2p (y -a ) é a fórmula reduzida da parábola, temos que 2/3 é o parâmetro da parábola. Então, o foco da parábola situa-se a p/2 de distância do vértice, ou seja, 1/3 de distância. Ora, mas o vértice se encontra em y = -1/3, então o foco está em y = -1/3 + 1/3 = 0.
Foco: x = 1, y = 0, z = 0 (mesma vertical do vértice).
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