Exercício de geometria analítica

Professor Vitor D.

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Respondeu há 1 ano

Para encontrar os vetores unitários que formam com o vetor v um ângulo cujo cosseno é 1/2, podemos utilizar a definição de cosseno:

cos(?) = v . u / (|v| |u|)

Onde ? é o ângulo entre os vetores, v é o vetor dado e u é o vetor unitário que estamos procurando. Como queremos um ângulo cujo cosseno é 1/2, temos:

1/2 = (1, 1) . (u1, u2) / (sqrt(2) * sqrt(u1^2 + u2^2))

Simplificando, temos:

1 = (1, 1) . (u1, u2) / (u1^2 + u2^2)

Podemos reescrever isso como um sistema de equações:

1 = u1 + u2 1 = u1^2 + u2^2

A primeira equação nos diz que u1 e u2 têm a mesma soma, e a segunda equação nos diz que a norma do vetor (u1, u2) é 1. Podemos resolver esse sistema de equações substituindo u2 = 1 - u1 na segunda equação:

1 = u1^2 + (1 - u1)^2 1 = 2u1^2 - 2u1 + 1 0 = 2u1^2 - 2u1 0 = 2u1(u1 - 1)

Isso nos dá duas soluções: u1 = 0 ou u1 = 1. Substituindo na primeira equação do sistema, obtemos os vetores unitários:

(u1, u2) = (0, 1) ou (1, 0)

Portanto, os dois vetores unitários que formam com o vetor v = (1, 1) um ângulo cujo cosseno é 1/2 são (0, 1) e (1, 0).

Analogamente, para encontrar os vetores unitários que formam com v um ângulo cujo cosseno é -?2/2, podemos seguir o mesmo processo:

-?2/2 = (1, 1) . (u1, u2) / (sqrt(2) * sqrt(u1^2 + u2^2)) -1 = u1 + u2 1 = u1^2 + u2^2

Resolvendo o sistema de equações, encontramos as soluções:

(u1, u2) = (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) ou (1/sqrt(2), -1/sqrt(2))

Portanto, os dois vetores unitários que formam com o vetor v = (1, 1) um ângulo cujo cosseno é -?2/2 são (-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) e (1/sqrt(2), -1/sqrt(2)).

Professor Raul C.

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Respondeu há 2 anos

Oi, sinto muito que nenhum profissional da área (que não é o meu caso, sou professor de História) tenha te respondido depois de meses. Indico utilizar uma próxima vez a seção tarefas desta plataforma, receberá em questão de horas ou dias sua resposta. Abraços.