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Geometria analítca e vetores

Sejam os pontos A(-1,3,2), B (1,4,-2), C(-1,3,-3) e D(2,-1,1). Determine a altura do tetraedro em relação a base ABC e seu volume. Determine o volume do tetraedro ABCD e o volume do paralelepipedo ABCD.

Engenharia Geral Vetores
1 resposta
Professor André A.
Respondeu há 5 anos
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Primeiro você tem de escolher um dos vértices da base ABC do tetraedro (eu escolhi o vértice A).

Vou definir os vetores AB, AC, e AD:

 

AB=B-A

AB=(1,4,-2)-(-1,3,2)

AB=(2,1,-4)

 

AC=C-A

AC=(-1,3,-3)-(-1,3,2)

AC=(0,0,-5)

 

AD=D-A

AD=(2,-1,1)-(-1,3,2)

AD=(3,-4,-1)

 

O vetor que coincide com a altura do tetraedro (em sentido e norma) é a projeção do vetor AD no vetor resultante do produto vetorial entre ABxAC:

A norma dessa projeção é o valor da altura, logo temos que:

h=IIProj(AD,ABxAC)II

h = IAD.(ABxAC)I / IIABxACII

ABxAC=det[

i j k
2 1 -4
0 0 -5

]

Este determinante é igual a: 10j -5i, logo:

ABxAC=-5i+10j+0k = (-5,10,0)

Então:

h=I(3,-4,-1).(-5,10,0)I/II(-5,10,0)II

h=I(-15-40+0)I/RAIZ(125)

h=55/RAIZ(125)

h=4.919

 

O volume do paralelepípedo é dado pelo produto misto:

V=IAD.(ABxAC)I

V=Idet[

2 1 -4
0 0 -5
3 -4 -1

]I

V=I-55I

V=55

Resposta:

Volume do paralelepipedo ABCD=55

Volume do Tetraedro ABCD=55/3

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