Na determinação da massa específica (y) de um material, usou

Para determinar a massa específica ($\rho$) do cilindro, precisamos usar a fórmula para a massa específica, que é dada por:

onde: - $m$ é a massa do cilindro, - $V$ é o volume do cilindro.

O volume do cilindro é calculado pela fórmula:

Agora, já que temos as incertezas associadas aos valores medidos, precisamos usar a fórmula de propagação de incertezas para calcular a incerteza da massa específica ($u(\rho )$). A incerteza é calculada usando o método de combinação de incertezas das variáveis:

As derivadas parciais são:

1. Para a massa ($m$):
   $$\frac{\partial \rho }{\partial m}=\frac{1}{V}$$

2. Para o diâmetro ($d$):
   $$\frac{\partial \rho }{\partial d}=\frac{-2m}{\pi d^{3}h}$$

3. Para a altura ($h$):
   $$\frac{\partial \rho }{\partial h}=\frac{-m}{\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2{h}^2}$$

Agora substituímos os valores dados e calculamos a incerteza combinada $u(\rho )$.

Primeiro calculemos o volume nominal:

Normalizando medidas:

Converter massa para kg:

Converter diâmetro e altura para metros:

Cálculo do volume:

Calculando o volume nominal:

Cálculo da massa específica:

Agora calculamos a incerteza.

Cálculo das incertezas $u(m),u(d),$ e $u(h)$:

Já fornecido:

Propagação de incertezas:

1. $\frac{\partial \rho }{\partial m}=\frac{1}{V}$, substitua:
   $$\Delta {\rho }_m=\frac{u(m)}{V}=\frac{0,022}{3,9205\times {10}^{-6}}=5613,36{\text{kg/m}}^3$$

2. $\frac{\partial \rho }{\partial d}=\frac{-2m}{\pi d^{3}h}$, substituindo:
   $$\Delta {\rho }_d=\left|\frac{-2\times 1,580}{\pi \times (0,025423{)}^3\times 0,07735}\right|\times u(d)$$

3. (\frac{\partial \rho}{\partial h} = \frac{-m}{\pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 h^2}), substituindo:
   $$\Delta {\rho }_h=\left|\frac{-1,580}{\pi \times (0,025423/2{)}^2\times (0,07735{)}^2}\right|\times u(h)$$

Finalmente, calculando $u(\rho )$ com os valores numéricos:

Após as substituições, os cálculos específicos dependerão dos resultados numéricos para $\Delta {\rho }_d$ e $\Delta {\rho }_h$. A expectativa é que $u(\rho )$ esteja na mesma ordem de grandeza que os contribuintes individuais, especialmente dominado por $\Delta {\rho }_m$ dado que a massa tem a maior incerteza proporcionalmente ao seu valor.

Recomendo utilizar software de cálculo ou scripts para automatizar cálculos exatos.